Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Нахман А.Д - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ВВЕДЕНИЕ
Методические разработки содержат основные сведения по следующим разделам курса математики:
«Числовые ряды. Степенные ряды», «Функции комплексного переменного», «Элементы теории вероят-
ностей и математической статистики». Предложены типовые задачи и образцы их решений, ознако-
мившись с которыми, студент может приступать к выполнению контрольных заданий. Контрольная ра-
бота по теме «Ряды» содержит задания на исследование сходимости знакоположительных и знакочере-
дующихся рядов, а также на применение разложений Маклорена функций действительного переменно-
го к решению задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
Задания контрольной работы по теме «Функции комплексного переменного» объединены общей
идеей представления аналитических функций степенными рядами. В общем случае, здесь необходимы
умения вычислять значения степенных функций и производных элементарных функций комплексного
переменного. Работа содержит также задания на нахождение круга сходимости степенного ряда, разло-
жения аналитических функций в ряды Маклорена и Лорана.
В работе по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики» контролируются
умения оперировать с формулами вычисления вероятностей случайных событий, распределением Пуас-
сона, вычислять числовые характеристики непрерывной случайной величины. Предлагаются задания на
вычисление выборочной средней и выборочной дисперсии, а также на нахождение интервальных оце-
нок неизвестного параметра нормального распределения.
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
1.1.
Основные понятия
. Пусть дана бесконечная числовая последовательность
{
}
n
a
. Числовым ря-
дом называется формально составленная бесконечная сумма
......
21
1
++++=
∑
∞
=
n
n
n
aaaa
. (1)
Ряд (1) называется сходящимся (и имеющим сумму
S
), если существует и конечен предел вида
)...(lim
21
n
n
aaaS
+++=
→∞
и расходящимся в противном случае.
1.2.
Достаточный признак расходимости ряда
. Если
0lim ≠
∞→
n
n
a
,
то ряд (1) расходится. В случае же
0lim =
∞→
n
n
a
ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся
(его поведение зависит от вида последовательности
{
}
n
a
).
1.3. «
Обобщённый гармонический ряд
»
∑
∞
=
++++=
1
...
1
...
2
1
1
1
n
ppp
nn
является сходящимся при
р
> 1 и расходящимся при
р
1
≤
.
1.4.
Достаточные признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с положительными членами.
Пусть дан ряд (1), в котором
.0>
n
a
Признак Даламбера. Если существует предел вида
n
n
n
a
a
D
1
lim
+
∞→
=
,
то при
D
< 1 ряд – сходящийся, при
D
> 1 – расходящийся.
Признак Коши. Если существует предел вида
n
n
n
aK
∞→
= lim
,
то при
K
< 1 ряд – сходящийся, при
K
> 1 – расходящийся.
З а м е ч а н и е . В случаях
D
= 1 или
K
= 1 соответствующий признак не даёт ответа на вопрос о
сходимости ряда; требуется применить другие признаки.
1.5.
Признак сравнения знакоположительных рядов
. Предположим, что ряд

Страницы