Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Нахман А.Д - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Р е ш е н и е . б ) Имеем, очевидно, ряд с положительными членами. При больших значениях
n
по-
ведение общего члена
a
n
определяется старшими степенями
n
(см. п. 1.7). Выбираем эталон для сравне-
ния:
∑
∞
=1
2/3
1
n
n
(поскольку
2/32
1
nn
n
a
n
=≈
при
n
→
∞
);
этот ряд – сходящийся
p = >3 2 1/
. Согласно признаку сравнения в предельной форме (п. 1.5, б)) нахо-
дим
.1
2
1
1
lim
2
lim
1
:
2
lim
2
2
2
2/32
=
+
=
+
=
+
=
∞→∞→∞→
n
n
n
nn
n
L
nnn
Поскольку
L
= 1, т.е.
L
≠
0
,
L
≠ ∞
, то поведение исходного ряда – такое же, как и эталонного. Итак,
ряд сходится.
Р е ш е н и е . в)
∑
∞
=3
ln
1
n
nn
.
Функция
xx
xf
ln
1
)( =
непрерывна при
3
≥
x
и убывает с ростом
х
(так как растёт знаменатель дроби).
Применяем интегральный признак:
∞=−∞=−∞====
∞
∞∞
∫∫
)3ln(lnln)3ln(ln)ln(lnlnln
ln
ln
ln
3
33
x
x
xd
xx
dx
J
.
Несобственный интеграл оказался расходящимся, следовательно, ряд – расходится.
Перейдём к рассмотрению рядов с произвольными членами.
1.8.
Достаточный признак сходимости
. Если дан ряд
∑
∞
=1
n
n
u
(
u
n
– произвольны,
n
= 1, 2, ...) (4)
и если ряд из модулей
∑
∞
=1
n
n
u
(5)
– сходящийся, то и данный ряд (4) – сходящийся. Его сходимость в
этом случае называется
абсолютной
(согласно этому определению сходимость ряда с положительными членами есть сходимость абсолют-
ная ).
Однако возможен случай, когда ряд (4) – сходящийся, тогда как соответствующий ряд из модулей
(5) – расходится. Сходимость ряда (4) в этом случае называется
условной
.
Возможен, конечно, и третий случай – ряд (4) – расходящийся.
Исследование обычно начинают с рассмотрения ряда из модулей. В случае его сходимости делают
вывод: данный ряд сходится абсолютно. Иначе – ряд (7) абсолютной сходимостью не обладает. Чтобы
проверить, обладает ли он условной сходимостью (или расходится), следует обратиться к исследованию
данного ряда (4).
В случае «чередования знаков» его членов используют следующий результат.
1.9.
Достаточный призрак Лейбница
сходимости знакочередуюшихся рядов. Пусть дан ряд
∑
∞
=
−
−
1
1
)1(
n
n
n
u
,
u
n
> 0,
n
= 1, 2, ... . (6)
Если (с ростом
n
) последовательность
{
}
n
u
– убывающая и
0lim =
∞→
n
n
u
, (7)
то ряд (6) – сходится.
Заметим, что:
а) признак не указывает на характер сходимости (абсолютная или условная) ряда (6);
б) если условие (7) не выполнено (см. п. 1.2), то ряд (6) – расходящийся.

Страницы