ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
(использована формула дифференцирования сложной функции, поскольку
у
является функцией от
х
).
Подставляя
х
=
==
= 0,
у
(0) =
==
= 0,
2)0( =
′
y
получаем:
2002)0(
0
−=++⋅−=
′′
ey
.
Осталось найти ещё один ненулевой коэффициент. Имеем:
(
)
(
)
yxyyeye
yxyxyyeyyeyxyyey
yy
yyy
′′
+
′
+
′′
−
′
=
=
′′
+
′′
+
′
+
′′
−+
′′
−−=
′
++
′
−=
′′′
−−
−−−
2)(
)()()(
2
и
.10022)2(2)0(
020
=+⋅+−−⋅=
′′′
eey
Подставляя найденные значения в разложение (8), получаем
...
3
5
2)(
32
++−=
xxxxy
.
2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
2.1. Приступая к выполнению контрольных зданий по данной теме, читателю следует повторить:
а) понятие комплексного числа (в алгебраической форме), его действительной и мнимой части, гео-
метрическую интерпретацию на координатной плоскости;
б) определение равенства комплексных чисел;
в) определение и свойства операций сложения, вычитания, умножения, а также определение нату-
ральной степени и частного комплексных чисел.
Напомним, что произвольное комплексное число
yixz
+
=
,
,0
≠
z
записанное в алгебраической фор-
ме (где
х
и
у
– действительные числа,
1
2
−=
i
), может быть также представлено в тригонометрической
форме:
(
)
ϕ+ϕρ= sincos
iz
,
где
22
=
yx
+ρ
– модуль комплексного числа (иначе обозначаемый также
||
z
), а действительное число
π<ϕ≤ϕ 20(
или
)20 π≤ϕ≤
определяется соотношениями
ρ
ϕ
y
=sin
,
ρ
ϕ
x
=cos
.
Тогда формула возведения в натуральную степень имеет вид:
( )
K,2,1,sincos =ϕ+ϕρ=
nninz
nn
.
С помощью этой формулы можно вычислять значения степенной функции
.
n
zw
=
П р и м е р . Вычислить значение функции
w
=
==
=
4
z
, в точке
iz
о
33+−=
.
Р е ш е н и е . Найдём модуль и аргумент числа
о
z
. Имеем
( )
,2333
2
2
=+−=ρ
.
2
1
23
3
cos,
2
1
23
3
sin −=
−
=ϕ==ϕ
Поскольку точка
o
z
расположена во 2-й четверти, то
.
4
3
4
π
=
π
−π=ϕ
Следовательно, в тригонометри-
ческой форме
.
4
3
sin
4
3
cos23
π
+
π
=
iz
o
По формуле возведения в степень получаем:
( )
π
⋅+
π
⋅=
4
3
4sin
4
3
4cos23
4
4
о
z
или (исключая период
π
=
2
T
под знаком каждой из тригонометрических функций)
( )
.sincos324
4
π+π=
iz
o
В
алгебраической форме
.324
4
−=
o
z
2.2. Показательная функция (комплексная экспонента) и основные тригонометрические функции
для всякого
iyxz
+
=
, определяются, соответственно, в виде:
Ryxyiyee
xz
∈+ , ),sincos(=
;
2
=cos
iziz
ee
z
−
+
;
;
2
=sin
i
ee
z
iziz
−
−
tg
;
cos
sin
=
z
z
z
сtg
z
z
z
sin
cos
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
