ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
zzzw
chsh = +
′
,
а тогда
π
π
+
π
π
′
2
ch
22
sh =
2
iiiiw
.
Поскольку
π
2
sh
i
=
−
π
−
π
22
2
1
ii
ee iii
=
π
−
π
−
π
+
π
=
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
1
и
π
2
ch
i
=
=
+
π
−
π
22
2
1
ii
ee
0
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
1
=
π
−
π
+
π
+
π
ii
,
то
.
2
iiw
=
π
′
2.4. Рассмотрим теперь последовательность
{
}
...,2,1, =
nz
n
степенных функций переменного
iyxz
+
=
(где
1,,
2
−=∈
iRyx
) и произвольную последовательность
{
}
n
a
комплексных чисел;
...2,1,0
=
n
Ряд вида
∑
∞
=
=+++++
0
2
210
......
n
n
n
n
n
zazazazaa
называется степенным. При каждом значении
z
ряд обращается в числовой с комплексными членами,
определение сходимости и суммы которого даётся в точности так же, как в п. 1.1. Областью сходимости
степенного ряда является круг
Rz
<
радиусом
R
с центром в начале координат. Как оказывается, внут-
ри этого круга он сходится абсолютно, вне круга – расходится, возможны случаи круга сходимости
«нулевого радиуса» (единственной точкой сходимости служит
0
0
=
z
) и «бесконечного радиуса» (обла-
стью сходимости является вся комплексная плоскость).
Радиус сходимости можно найти по одной из формул:
D
R
1
=
или
K
R
1
=
,
где
D
и
K
– соответственно, числа Даламбера и Коши (см. п. 1.4).
П р и м е р . Найти круг сходимости степенного ряда:
∑
∞
=
+
1
32
n
n
n
z
.
Р е ш е н и е. Запишем общий член ряда в виде
n
z
n
32
1
+
;
можно считать, что
...,2,1;
32
1
;0
0
=
+
==
n
n
aa
n
. Число Даламбера
( )
;1
52
12
lim
12
1
:
312
1
limlim
1
=
+
+
=
+++
==
∞→∞→
+
∞→
n
n
nna
a
D
nn
n
n
n
теперь
,
1
D
R
=
т.е.
1
=
R
. Круг сходимости определяется неравенством
1<
z
.
2.5. Функция
)(
zf
называется аналитической (аналитичной) в точке
o
z
, если она дифференцируема
как в этой точке, так и некоторой её окрестности (т.е. в некотором круге
0,|| ><−
rrzz
o
). Функция
)(
zf
аналитична в области
G
(например, в круге, кольце, во всей комплексной плоскости), если она анали-
тична во всякой точке этой области
G
. Функцию, аналитичную в точке
0=
o
z
, можно в некоторой окре-
стности этой точки представить в виде суммы степенного ряда (так называемого ряда Маклорена). При-
ведём разложения некоторых из основных элементарных функций комплексной переменной в ряд Мак-
лорена:
KK +++++=
!!2!1
1
2
n
zzz
e
n
z
;
( )
( )
KK +
+
−+−+−=
+
!12
1
!5!3
sin
1253
n
zzz
zz
n
n
;
( )
( )
KK +−+−+−=
!2
1
!4!2
1cos
242
n
zzz
z
n
n
;
( )
KK +
+
++++=
+
!12!5!3
sh
1253
n
zzz
zz
n
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
