Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Нахман А.Д - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
KK +++++=
!2!4!2
1ch
242
n
zzz
z
n
.
Каждый из указанных рядов абсолютно сходится во всей комплексной плоскости и имеет своей
суммой соответствующую функцию. Справедливо также разложение:
( )
...1...1
1
1
2
+−+−+−=
+
n
n
zzz
z
1<
z
.
Точку
0
z
, в которой функция
(
)
zf
неаналитична, но аналитична в некоторой её окрестности (т.е.
при
0,||0 ><−<
rrzz
o
), называют изолированной особой точкой для
(
)
zf
. Например, функция
z
z
2
1+
об-
ладает изолированной особой точкой
0
0
=
z
(в ней функция даже не определена). В общем случае раз-
ложение по степеням
z
в окрестности изолированной особой точки
0=
o
z
имеет вид
( )
......
1
1
+++=
+−
+−
−
−
m
m
m
m
zczczf
...;...
2
210
1
1
2
2
++++++++
−
−
−
−
n
n
zczczcczczc
и представляет собой частный случай так называемого ряда Лорана. Члены с отрицательными степеня-
ми
z
образуют часть степенного ряда, которая называется главной. Пусть
0
>
m
(главная часть содержит
какие-либо члены). Если
,0≠
−
n
с
тогда как
0=
−
m
с
при
,
n
m
>
то особая точка
0
z
называется полюсом
n
-
го порядка.
П р и м е р 1. Представить функцию
( )
)1(
2
−=
−
z
ezzf
в виде суммы ряда по степеням
z
(ряда Макло-
рена).
Р е ш е н и е . В стандартном разложении
Z
ew
=
выберем
z
Z
−
=
:
=
−
z
e
KK +
−
+−+−
!
)(
!2!1
1
2
n
zzz
n
Вычитая единицу из обеих частей этого соотношения, получаем (во всех точках комплексной плос-
кости):
−
−
z
e
KK +−+−+−=
!
)1(
!2!1
1
2
n
zzz
n
n
.
Умножим теперь обе части разложения на
2
z
; левая часть тогда совпадёт с данной
(
)
zf
и, следова-
тельно,
(
)
=
zf
KK +−+−+−
+
!
)1(
!2!1
243
n
zzz
n
n
.
во всех точках комплексной плоскости.
П р и м е р 2. Разложить данную функцию
( )
( )
zz
zf
+
=
2
4
2
в ряд по степеням
z
(ряд Лорана) и определить порядок полюса
z
=
0.
Р е ш е н и е . Воспользуемся вышеприведённым стандартным разложением функции
Z
w
+
=
1
1
. Для
этого данную функцию
(
)
zf
представим в виде:
( )
2
1
12
2
12
4
2
2
z
z
z
z
zf
+
⋅=
+
=
,
выберем (в стандартном разложении) значение
2
z
Z
=
,
1||
<
Z
и умножим обе части на
2
2
z
. Имеем (при
1
2
<
z
):
( )
,...
2
2
1...
42
112
2
1
12
222
+⋅−++−+−=
+
⋅
z
zz
z
z
z
z
n
n
n
т.е.
( ) ( )
...
2
1...
42
112
1
2
2
+−++−+−=
−
−
n
n
n
zz
z
z
zf
для всех
0
≠
z
из круга
2<
z
; особая точка
0
=
z
(в силу вышеприведённого определения), является по-
люсом порядка
2
=
m
.

Страницы