Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Нахман А.Д - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если же вероятность события
B
постоянна в условиях данного опыта (не зависит от наступления
или ненаступления
A
), то
A
и
B
называются независимыми событиями; тогда
(
)
(
)
(
)
BPAPABP
=
.
4) Если
A
и
B
совместны, то
(
)
(
)
(
)
(
)
ABPBPAPBAP
−+=+
.
П р и м е р 1. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Наудачу извлекли два шара. Найти вероятность сле-
дующих событий:
а) оба шара белых;
б) только один шар белый;
в) хотя бы один шар белый.
Р е ш е н и е . а) Событие
А
– оба извлечённых шара – белые. Исходы опыта – выборки.
Используем определение вероятности и комбинаторные формулы. Так как набор из двух шаров не-
упорядочен, то число возможных исходов
45
!2!8
!10
2
10
===
Cn
. Число благоприятных исходов
15
!2!4
!6
2
6
===
Cm
(выбор двух шаров из шести белых). Следовательно,
3
1
45
15
)(
2
10
2
6
===
C
C
AP
.
б) Событие
В
– только один извлечённый шар – белый, тогда
2446
21
=⋅==
mmm
;
.
15
8
45
24
)( ==
BP
в)
C –
хотя бы один шар белый. Противоположным к
С
является событие
C
– оба шара чёрных.
Следовательно,
.
15
13
15
2
1)(1)(,
15
2
9
3
10
4
)()()(
21
1
=−=−==⋅==
CPCPAPAPCP
A
3.6 Формула Бернулли (повторные испытания). Рассмотрим задачу: имеется
n
испытаний (собы-
тий). Вероятность появления события
А
в каждом отдельном испытании постоянна и равна
р.
Тогда ве-
роятность
P
n
(
k
) того, что событие
А
появится ровно
k
раз в
n
испытаниях, можно найти по формуле
Бернулли:
,)(
knkk
nn
qpCkP
−
=
где
pq
−
=
1
. (2)
3.7. При больших значениях
n
и 0 <
p
< 1 значение
Р
n
(
k
) можно приближённо вычислить по «ло-
кальной» формуле Лапласа:
)(
1
)(
kn
x
qpn
kP
ϕ≈
,
где
.
2
1
)(,
2
2
x
k
ex
qpn
npk
x
−
π
=ϕ
−
=
Значения функции ϕ(
х
) находятся по таблицам, имеющимся во многих учебных пособиях. При этом
используется чётность функции ϕ: ϕ(–
х
) = ϕ(
х
).
Если количество
n
опытов велико, то вероятность
P
n
(
k
1
,
k
2
) того, что событие
А
произойдёт не ме-
нее
k
1
и не более
k
2
раз, можно найти по интегральной формуле Лапласа:
(
)
(
)
12
),(
21
kkn
xxkkP
Φ−Φ≈
,
где
dzex
x
z
∫
−
π
=Φ
0
2
2
2
1
)(
.
Значения Ф(
х
) находят по таблицам. При этом используется нечётность Ф(
х
): Ф(–
х
) = – Ф(
х
).
3.8. Пусть в каждой данной серии из
n
опытов вероятность
р
события
A
постоянна, но от серии к се-
рии опытов с ростом
n
эта вероятность убывает обратно пропорционально числу
n
опытов с постоян-
ным коэффициентом
λ
, т.е
р =
n
λ
. При сформулированных условиях для вероятности Бернулли
)(
kP
n
имеет место соотношение:

Страницы