Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Нахман А.Д - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
!
lim
k
e
kP
kk
n
n
−
∞→
λ
=
.
Отсюда следует, что если вероятность
р
появления события
А
в каждом из
n
опытов мала (
n
– вели-
ко) и λ =
np
, то
!
)(
k
e
kP
k
n
λ−
λ
≈
(формула Пуассона).
П р и м е р 1. Найти вероятность того, что событие
А
появится в пяти независимых опытах: а) два
раза; б) менее двух раз, если вероятность появления события
А
в одном опыте
.4,0
=
p
Р е ш е н и е . а) Пусть событие
В
состоит в появлении
А
ровно два раза в пяти опытах. Тогда по
формуле Бернулли:
.3456,0)6,0()4,0()2()(
222
55
===
CPBP
б) Если событие
С
означает появление
А
менее двух раз, т.е. или ни разу (
k
= 0) или один раз (
k
= 1),
то
.61776,04752,014256,0
6,04,06,04,0)1()0()1или0()(
41
5
500
5555
=+=
=⋅⋅+⋅⋅=+====
CCPPkkPCP
П р и м е р 2. В течение года из аэропорта города
N
отправляется 1200 авиарейсов. Вероятность за-
держки каждого вылета по метеоусловиям равна 0,005. Какова вероятность задержки по метеоусловиям
в течение года ровно 4 рейсов?
Р е ш е н и е . По условию задачи, вероятность наступления события в единичном опыте (задержки
рейса по метеоусловиям) мала:
р
= 0,005, тогда как число опытов (число рейсов) велико:
n
= 1200. Сле-
довательно, возможно использование формулы Пуассона при
4=
k
. Имеем
6005,01200
=
⋅
=
=
λ
np
и
( )
.134,0
!4
6
4
64
1500
≈=
−
e
p
3.9. Случайной величиной называется числовая величина
X
, которая в каждом опыте принимает од-
но и только одно значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин. Если все возможные
значения величины
Х
образуют числовую последовательность
{
}
x
n
,
n
= 1, 2, ... (конечную или беско-
нечную), то
Х
называется дискретной; если же возможные значения
Х
заполняют целиком некоторый
числовой интервал, то величина
Х
называется непрерывно распределённой на этом интервале.
3.10. Законом распределения дискретной случайной величины
X
называется соответствие между её
возможными значениями
x
k
и вероятностями
р
k
=
P
(
X = x
k
) события, состоящего в принятии величиной
X
значения именно
x
k
. Обычный способ задания такого закона – ряд (таблица) распределения. Заметим,
что
∑
=
=
n
k
k
p
1
.1
Числовыми характеристиками дискретной величины
Х
являются её математическое ожидание
(среднее значение), дисперсия и среднее квадратическое отклонение; соответственно,
∑
=
=
n
k
kk
pxXM
1
)(
,
∑
=
−=
n
k
kk
XMpxXD
1
22
))(()()(
,
)()(
xDx
=σ
.
3.11. Универсальным способом описания всякой случайной величины
Х
является функция распре-
деления (синонимы: интегральный закон распределения, интегральная функция), имеющая вид:
F
(
x
) =
P
(
X
<
x
),
т.е. соотносящая каждому
∞+−∞∈ ;(
x
) вероятность события, состоящая в принятии величиной
X
значе-
ния левее точки
х
.
Из свойств
F
(
x
) отметим возможность определять с её помощью вероятность попадания значений
Х
в заданный интервал:
)()()(
aFbFbXaF
−=<≤
.
Плотностью распределения (дифференциальной функцией) назовём функцию вида:
)()(
xFxf
′
=
.

Страницы