Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Нахман А.Д - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ятность γ, с которой осуществляется неравенство
γ<θ−θ
∗
. Наиболее часто задают надёжность, равную
0,95; 0,99; 0,995. Интервал (θ
∗
– δ, θ
∗
+ δ) называют доверительным интервалом.
3.15. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения
при известном σ. Пусть количественный признак
Х
генеральной совокупности распределён с плотно-
стью
2
2
2
)(
2
1
)(
σ
−
−
πσ
=
ax
exf
(«нормальное распределение»); здесь параметр
а
есть значение математического
ожидания, σ – среднее квадратическое отклонение (для
Х
). Предположим, что среднее квадратическое
отклонение σ этого распределения известно, и извлечена выборка объёма
n
. Требуется оценить неиз-
вестное математическое ожидание
а
по выборочной средней
в
x
с заданной надёжностью γ. Пусть
t
–
значение аргумента функции Лапласа Ф(
t
) (п.3.7), для которого γ = 2Ф(
t
). Тогда:
)(Ф2
в
t
n
taxP
=
δ
<−
.
Число
t
определяется из равенства
.
2
)(Ф
γ
=
t
Следовательно, с надёжностью γ доверительный интер-
вал
σ
+
σ
−
n
tx
n
tx
вв
,
покрывает неизвестный параметр
а
; точность оценки есть
n
t
σ
=δ
.
П р и м е р 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка. Известен вариационный ряд
Найти: а) выборочную среднюю
в
x
; б) выборочную дисперсию
D
в
.
Р е ш е н и е . Объём выборки
n
= 10 + 25 + 40 + 15 + 10 = 100.
Согласно 3.13 имеем
29,1
100
10
5,1
100
15
4,1
100
40
3,1
100
25
2,1
100
10
1,1
в
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
x
и
.0319,0)29,1(1,0)5,1(
15,0)4,1(4,0)3,1(25,0)2,1(1,0)1,1(
22
2222
в
=−⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅=
D
П р и м е р 2. Случайная величина
Х
имеет нормальное распределение с известным средним квадра-
тичным отклонением σ = 4. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического
ожидания
а
по выборочной средней
6,3
в
=
x
, если объём выборки 64 и задана надёжность оценки γ =
0,95.
Р е ш е н и е . Найдём
t
из соотношения
475,0
2
95,0
)(Ф ==
t
; соответствует
t
= 1,96; точность оценки
98,0
64
496,1
=
⋅
=δ
. Следовательно, имеем доверительный интервал (3,6 – 0,98; 3,6 + 0,98), т.е. 2,62 <
a
<
4,58.
i
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
n
i
10 25 40 15 10

Страницы