Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Нахман А.Д - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(во всех точках
z
, где знаменатель соответствующей дроби не обращается в ноль). Гиперболические
синус, косинус, тангенс и котангенс – функции определения которых имеют следующий вид:
сh
;
2
=
zz
ee
z
−
+
sh
;
2
=
zz
ee
z
−
−
th
;
ch
sh
=
z
z
z
cth
z
z
z
sh
ch
=
.
В последних двух случаях исключаются из рассмотрения те значения
z
, для которых знаменатели об-
ращаются в ноль.
2.3. Пусть однозначная функция
(
)
zfw
=
определена в точке
iyxz
+
=
и некоторой её окрестности
(т.е. в некотором круге с центром в указанной точке). Ели
x
и
y
получают, соответственно, приращения
x
∆
и
y
∆
, то
yixz
∆
+
∆
=
∆
– соответствующее приращение переменной
z
. При переходе от точки
z
к точке
z
z
∆
(значения
,
x
∆
y
∆
предполагаем столь малыми, что точка
z
z
∆
расположена в той же окрестно-
сти) значение
(
)
zfw
=
получает некоторое приращение
(
)
(
)
.
zfzzfw
−∆+=∆
О п р е д е л е н и е. Пусть существует предел вида:
.lim
0
z
w
z
∆
∆
→∆
Он называется производной функции
(
)
zf
в точке
z
и обозначается
(
)
zf
′
либо
w
′
. Функция же
(
)
zf
называется дифференцируемой в точке
z
.
Имеют место правила дифференцирования (аналогичные случаю функций действительного пере-
менного):
а) если
const
=
C
(постоянное комплексное число), то
0'
=
С
;
б)
( )( ) ( )
const, =
′
=
′
CzfCzCf
;
в)
( ) ( )( ) ( ) ( )
zgzfzgzf
′
+
′
=
′
+
;
г)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
zgzfzgzfzgzf
′
+
′
=
′
;
д)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
zg
zgzfzgzf
zg
zf
2
′
−
′
=
′
в точках, где
(
)
0≠
zg
.
Справедливо правило дифференцирования сложной функции:
( )( )( ) ( )( ) ( )
.
zfzfzf
′
ϕ
′
=
′
ϕ
Сохраняется и таблица производных:
1)
1
=
′
z
;
2)
(
)
1−
=
′
nn
znz
;
3)
(
)
zz
ee
=
′
;
4)
( )
zz
cossin =
′
;
5)
( )
zz
sincos −=
′
;
6)
( )
z
z
2
cos
1
tg =
′
;
7)
( )
z
z
2
sin
1
ctg −=
′
;
8)
zz
ch)'sh( =
;
9)
zz
sh)'ch( =
;
10)
( )
z
z
2
ch
1
th =
′
;
11)
( )
z
z
2
sh
1
cth −=
′
.
П р и м е р . Вычислить значение производной функции
zzw
sh=
, в точке
=
о
z
2
π
i
.
Р е ш е н и е. По формуле производной произведения получаем

Страницы