ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
П р и м е р . Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость:
∑
∞
=
−
+
−
1
1
512
)1(
n
n
n
.
Р е ш е н и е . Имеем знакочередующийся ряд. Запишем общий член ряда из модулей
512
1
512
)1(
+
=
+
−
=
nn
a
n
n
.
Применив признак сравнения в предельной форме (пп. 1.7, 1.5) к полученному знакоположительно-
му ряду, убеждаемся, что он расходится.
Для выяснения вопроса об условной сходимости используем признак Лейбница.
Последовательность
{
}
n
a
,
512
1
+
=
n
a
n
, убывает с ростом
n
(так как знаменатель дроби растёт, а чис-
литель постоянен) и
0
512
1
limlim =
+
=
∞→∞→
n
a
n
n
n
.
Следовательно (согласно признаку Лейбница) ряд сходится. Поскольку абсолютной сходимостью
он не обладает, то сходится условно.
1.10. Ряд вида
∑
∞
−
+++++=
0
2
210
......
n
n
n
n
n
xaxaxaaxa
,
построенный по степенным функциям
y
=
==
=
x
n
и заданной числовой последовательности
{
}
n
a
,
n
=
==
= 0, 1, 2,
... является важнейшим представителем функциональных рядов. Точка
х
=
х
0
называется точкой сходи-
мости, если соответствующий числовой ряд сходится. Областью сходимости степенного ряда, т.е. сово-
купностью всех его точек сходимости, является интервал с центром в начале координат радиуса
R
(«ра-
диус сходимости»), т.е. (–
R
,
R
) либо [–
R
,
R
), (–
R
,
R
], [–
R
,
R
]. Вне этого интервала степенной ряд расхо-
дится.
Заметим, что в интервале (–
R
,
R )
степенной ряд сходится абсолютно.
1.11. Рассмотрим задачу: функцию
y
=
==
=
y
(
x
), дифференцируемую сколь угодно много раз в точке
х
0
и
некоторой её окрестности (–
R
,
R
), представить в виде суммы степенного ряда:
),(,)(
0
RRxxaxy
n
n
n
−∈=
∑
∞
=
.
Оказывается, что такое представление (разложение), если оно возможно, должно иметь вид:
...
!
)0(
...
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
)0()(
)(
32
+++
′′′
+
′′
+
′
+=
n
n
x
n
y
x
y
x
y
x
y
yxy
. (8)
Разложение (8) называется рядом Маклорена.
П р и м е р . Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения
y
=
==
=
y
(
x
)
задачи Коши:
=
++=
′
−
.0)0(
;1
y
xyey
y
Р е ш е н и е . Разложение в степенной ряд всякой (дифференцируемой сколь угодно много раз)
функции (если это разложение возможно), должно иметь вид (8). Поэтому достаточно найти лишь его
коэффициенты:
,
!
)0(
)(
n
y
a
n
n
=
т.е. определить числа
)0(),0(),0(),0(
yyyy
′
′
′
′
′
′
и т.д. Значение
у
(0) =
==
= 0 – дано; зависимость
′
y
от
х
и
у
из-
вестна:
xy
ey
y
++=
′
−
1
.
В точке
х
= 0 имеем:
.21)0(01)0(
0)0(
=+=⋅++=
′
−
eyey
y
Далее,
(
)
yxyyeyxyxyexyey
yyy
′
++
′
−=
′
+
′
+
′
−+=
′
++=
′′
−−−
)(01
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
