Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Нахман А.Д - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∑
∞
=
=>
1
...),2,1(0,
n
nn
nbb
(2)
имеет заранее известное поведение и существует предел вида
n
n
n
b
a
L
∞→
= lim
.
Если
0
≠
L
и
∞
≠
L
, то поведение ряда такое же, как и ряда (2).
З а м е ч а н и е . Ряд (2), определяющий поведение данного ряда, называют эталонным. Часто в ка-
честве эталона выбирают обобщённый гармонический ряд.
1.6.
Достаточный интегральный признак
(Коши) сходимости знакоположительных рядов. Построим
функцию
f
(
x
),
заменив
n
на
х
в аналитическом выражении общего члена
a
n
.
Если
f
(
x
) непрерывна и убывает на
);1[ ∞+
, то знакоположительный ряд является сходящимся в слу-
чае сходимости несобственного интеграла
∫
∞
=
1
)(
dxxfJ
, (3)
(т.е. в случае, если
J
– число). Если же интеграл (3) является расходящимся (
+∞
=
J
), то ряд расходится.
Если члены ряда нумеруются, начиная с
l
=
n
(
1
>
l
), то интеграл вида (3) берётся по
[
)
∞∈ ;l
x
.
1.7.
Сравнительная характеристика признаков
. При исследовании конкретного ряда следует удачно
выбрать соответствующий признак. Здесь можно пользоваться следующими рекомендациями:
1) если члены ряда быстро убывают (растут), то бывает эффективен признак Даламбера;
2) если выражение для
a
n
имеет вид блока в степени, кратной
n
(так что легко извлекается корень
n
-
й степени), то эффективен признак Коши;
3) если выражение для
a
n
содержит арифметические действия над степенными функциями, то при
больших значениях
n
члены ряда ведут себя как
p
n
1
, и, следовательно, в качестве эталона для сравнения
выбирают обобщённый гармонический ряд с соответствующим значением
р
. Обычно эффективен при-
знак сравнения в предельной форме;
4) если для функции
f
(
x
), полученной при замене
п
на
х
в выражении
a
n
, достаточно легко вычисляется
первообразная
F
(
х
), то бывает эффективен интегральный признак.
Указанные рекомендации не охватывают, естественно, все возможные случаи и служат лишь в ка-
честве наводящих соображений.
П р и м е р . Исследовать сходимость ряда:
а)
∑
∞
=
+
1
2
5)12(
n
n
n
n
; б)
∑
∞
=
+
1
2
2
n
n
n
; в)
∑
∞
=3
ln
1
n
nn
.
Р е ш е н и е . а) Общий член знакоположительного ряда
2
5)12(
n
n
a
n
n
+
=
содержит множителем показательную функцию. Согласно п. 1.7, целесообразно применить признак Да-
ламбера (1.4). Найдём
a
n
+1
, взяв (
n
+ 1) вместо
n
в аналитическом выражении для
a
n
:
2
1
2
1
1
)1(
5)32(
)1(
5)1)1(2(
+
+
=
+
++
=
++
+
n
n
n
n
a
nn
n
.
Теперь вычисляем соответствующий предел:
.151
2
2
5
1
1
1
1
2
3
2
lim5
5
5
112
32
lim
5)12(
:
)1(
5)32(
limlim
2
1
2
22
1
1
>=⋅⋅=
++
+
=
=
++
+
=
+
+
+
==
∞→
+
∞→
+
∞→
+
∞→
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
D
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
Имеем:
D
> 1; согласно признаку Даламбера, ряд расходится.

Страницы