Статистическая теория радиотехнических систем. Наместников С.М - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

15
iii
rxx
ξ
+
=
−1
,
1, 2,3,...i
=
, (2)
где
1<r
- коэффициент корреляции между двумя соседними СВ. Для того
чтобы полученная реализация СП
T
n
xxxX ],...,,[
21
=
обладала свойством
стационарности, начальное значение
1
x
следует моделировать как гауссовскую
СВ с нулевым МО и дисперсией
{
}
22
1
x
xM
σ
=
. Кроме того, полагая, что
дисперсия СП
2
x
σ
постоянна для любых
i
x
, можно записать
{}
(
)
{
}
{
}
{
}
{
}
2222
1
2
1
2
2
1
22
2
ξ
σσξξξσ
+=++=+==
−−−
xiiiiiiix
rMxrMxrMrxMxM
,
откуда
(
)
222
1 r
x
−=
σσ
ξ
.
Полученное выражение определяет дисперсию случайных добавок
i
ξ
таким образом, чтобы сформированные отсчеты СП имели постоянную
дисперсию
2
x
σ
.
Найдем корреляционную функцию (КФ) для СП заданного
авторегрессионным уравнением первого порядка. Учитывая, что СП является
стационарным, КФ будет иметь один аргумент
k
, характеризующий расстояние
между любыми двумя СВ последовательности. В случае, когда
1=
k
, имеем
{} { }
{
}
{}
rxMrxMrxxMxxMR
xiixixiiixiix
=+=+==
−−−−−
2
1
22
1
2
11
2
1
///)(/)1(
σξσσξσ
.
Повторяя аналогичные операции при
,...3,2
=
k
, приходим к следующему
выражению для КФ:
{
}
||2
/)(
k
xkiix
rxxMkR ==
−
σ
.
Уравнение (2) авторегрессии первого порядка представляет довольно узкий
класс гауссовских марковских СП с экспоненциальной КФ. Одним из способов
расширения этого класса является описание СП с помощью авторегрессионных
уравнений более высокого порядка, например второго:
11 2 2
, 1, 2,3,...
ii ii
xrx rx i
ξ
−−
=+ +=
,
где
21
, rr
- некоторые коэффициенты, которые влияют на характер СП. Данные
коэффициенты связаны со значениями КФ выражением
0),2()1()(
21
>
−
+
−
= kkRrkRrkR
xxx
с начальными условиями
1)0(
=
x
R
и
(
)
21
1/)1( rrR
−
=
. Коэффициенты
21
,rr
можно найти из системы линейных уравнений
⎩
⎨
⎧
=+
=+
),2()1(
),1()1(
21
21
xx
xx
RrRr
RRrr
при известных
{}
2
1
/)1(
xiix
xxMR
σ
−
=
и
{
}
2
2
/)2(
xiix
xxMR
σ
−
=
, т.е. корреляциях
между первым и вторым отсчетами, а также между вторым и третьим.
Дисперсия сформированного таким образом СП определяется выражением
)2()1(1
21
2
2
xx
x
RrRr −−
=
ξ
σ
σ
.

Страницы