ВУЗ:
Составители:
19
Рис. 2.1. Обобщенная схема логиче-
ского устройства.
2.3. Способы записи функций алгебры логики
Рассмотрим некоторое логическое
устройство, на входе которого
присутствует некоторый n-разрядный
двоичный код x
n-1
…x
1
x
0
, на выходе
соответственно m-разрядный двоичный
код z
m-1
…z
1
z
0
, (рис. 2.1). Для того,
чтобы описать поведение этой схемы,
необходимо определить зависимость
каждой из т выходных переменных z
i
от входного двоичного кода x
n-1
…x
1
x
0
.
Зависимость выходных
переменных z
i
, выраженная через
совокупность входных переменных x
n-1
…x
1
x
0
с помощью операций алгебры-
логики, носит название функции алгебры логики (ФАЛ). Иногда данную
зависимость также называют переключательной функцией. Задать ФАЛ - это
значит определить значения z
i
для всех возможных комбинаций переменных x
n-
1
…x
1
x
0
. Очевидно, что для n-разрядного двоичного кода x
n-1
…x
1
x
0
существует 2
n
различных значений z
i
.
Функция называется полностью определенной, если заданы 2
n
ее значений.
Если часть значений функции не задана, то она называется частично
определенной или недоопределенной.
Иногда известно, что по условиям работы устройства появление
некоторых входных кодов невозможно, и поэтому значения ФАЛ на этих кодах
не задаются. При этом возникают так называемые факультативные или
необязательные значения функции, которые могут задаваться произвольными
значениями. Входные коды, для которых ФАЛ имеет факультативные значения,
называются запрещенными.
Устройства, поведение которых описывается при помощи ФАЛ, называют
логическими.
Для описания ФАЛ могут быть использованы различные способы. Основными
из них являются описание функции в словесной форме, в виде таблиц истинности,
алгебраических выражений, последовательностей десятичных чисел, а также
кубических комплексов.
Словесное описание ФАЛ. Данный вид описания наиболее часто применяется
для первоначального, исходного описания поведения логического устройства.
Проиллюстрируем словесное описание ФАЛ на примере.
Пример 2.1. Логическая функция трех переменных равна единице, если хотя бы две
входные переменные равны единице.
Описание ФАЛ в виде таблицы истинности. Таблица, содержащая все
возможные комбинации
входных переменных x
n-1
…x
1
x
0
и соответствующие им
значения выходных переменных z
i
, называется таблицей истинности, или
комбинационной таблицей. В общем случае таблица истинности содержит 2
n
строк и m+n столбцов. Проиллюстрируем построение таблицы истинности на
примере.
20
Пример 2.2. Составить таблицу истинности для ФАЛ из примера 2.1.
Решение. Данная таблица имеет четыре столбца.
Таблица 2.5
Таблица истинности для трех переменных
x
2
x
1
x
0
y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Описание ФАЛ в виде алгебраического выражения. При описании ФАЛ
алгебраическим выражением используются две стандартные формы ее
представления.
1. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ). ДНФ называется логическая сумма
элементарных логических произведений, в каждый из которых аргумент или его
инверсия входят один раз.
Получена ДНФ может быть из таблицы истинности с использованием
следующего
алгоритма:
а) для каждого набора переменных, на котором ФАЛ равна единице,
записываются элементарные логические произведения входных
переменных, причем переменные, равные нулю, записываются с инверсией.
Полученные произведения называют конституентами единицы, или
минтермами (m).
б) логически суммируют все конституенты единицы (минтермы).
Пример 2.3. Записать ДНФ для ФАЛ, заданной в примере 2.2.
Решение.
Составим таблицу конституент единицы (минтермов) для ФАЛ,
заданной в примере 2.2.
Таблица 2.6
Минтермы ФАЛ y(x
2
,x
1
,x
0
)
x
2
x
1
x
0
Минтермы
(m)
Значение
функции
0 0 0
0120
xxxm
=
y
0
=0
0 0 1
0121
xxxm
=
y
1
=0
0 1 0
0122
xxxm
=
y
2
=0
0 1 1
0123
xxxm
=
y
3
=1
1 0 0
0124
xxxm
=
y
4
=0
1 0 1
0125
xxxm
=
y
5
=1
1 1 0
0126
xxxm
=
y
6
=1
1 1 1
0127
xxxm
=
y
7
=1
2.3. Способы записи функций алгебры логики Пример 2.2. Составить таблицу истинности для ФАЛ из примера 2.1.
Рассмотрим некоторое логическое Решение. Данная таблица имеет четыре столбца.
устройство, на входе которого Таблица 2.5
присутствует некоторый n-разрядный Таблица истинности для трех переменных
двоичный код xn-1 …x1x0, на выходе x2 x1 x0 y
соответственно m-разрядный двоичный 0 0 0 0
код zm-1…z1z0, (рис. 2. 1 ) . Для того, 0 0 1 0
чтобы описать поведение этой схемы, 0 1 0 0
необходимо определить зависимость
0 1 1 1
каждой из т выходных переменных z i
от входного двоичного кода x n-1 …x 1 x 0 . Рис. 2.1. Обобщенная схема логиче- 1 0 0 0
Зависимость выходных ского устройства. 1 0 1 1
переменных zi, выраженная через 1 1 0 1
совокупность входных переменных x n-1 …x 1 x 0 с помощью операций алгебры- 1 1 1 1
логики, носит название функции алгебры логики (ФАЛ). Иногда данную
Описание ФАЛ в виде алгебраического выражения. При описании ФАЛ
зависимость также называют переключательной функцией. Задать ФАЛ - это
алгебраическим выражением используются две стандартные формы ее
значит определить значения z i для всех возможных комбинаций переменных x n-
n представления.
1 …x 1 x 0 . Очевидно, что для n-разрядного двоичного кода x n-1 …x 1 x 0 существует 2
1. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ). ДНФ называется логическая сумма
различных значений zi.
элементарных логических произведений, в каждый из которых аргумент или его
Функция называется полностью определенной, если заданы 2n ее значений.
инверсия входят один раз.
Если часть значений функции не задана, то она называется частично
Получена ДНФ может быть из таблицы истинности с использованием
определенной или недоопределенной.
следующего алгоритма:
Иногда известно, что по условиям работы устройства появление
а) для каждого набора переменных, на котором ФАЛ равна единице,
некоторых входных кодов невозможно, и поэтому значения ФАЛ на этих кодах
записываются элементарные логические произведения входных
не задаются. При этом возникают так называемые факультативные или
переменных, причем переменные, равные нулю, записываются с инверсией.
необязательные значения функции, которые могут задаваться произвольными
Полученные произведения называют конституентами единицы, или
значениями. Входные коды, для которых ФАЛ имеет факультативные значения,
минтермами (m).
называются запрещенными.
б) логически суммируют все конституенты единицы (минтермы).
Устройства, поведение которых описывается при помощи ФАЛ, называют
логическими. Пример 2.3. Записать ДНФ для ФАЛ, заданной в примере 2.2.
Для описания ФАЛ могут быть использованы различные способы. Основными Решение. Составим таблицу конституент единицы (минтермов) для ФАЛ,
из них являются описание функции в словесной форме, в виде таблиц истинности, заданной в примере 2.2.
алгебраических выражений, последовательностей десятичных чисел, а также Таблица 2.6
кубических комплексов. Минтермы ФАЛ y(x2,x1,x0)
Словесное описание ФАЛ. Данный вид описания наиболее часто применяется Минтермы Значение
x2 x1 x0
для первоначального, исходного описания поведения логического устройства. (m) функции
Проиллюстрируем словесное описание ФАЛ на примере. 0 0 0 m 0 = x x x
2 1 0 y0=0
Пример 2.1. Логическая функция трех переменных равна единице, если хотя бы две 0 0 1 m1 = x2 x1 x0 y1=0
входные переменные равны единице.
0 1 0 m2 = x2 x1 x0 y2=0
Описание ФАЛ в виде таблицы истинности. Таблица, содержащая все
возможные комбинации входных переменных x n-1 …x 1 x 0 и соответствующие им 0 1 1 m3 = x2 x1 x0 y3=1
значения выходных переменных zi, называется таблицей истинности, или 1 0 0 m4 = x2 x1 x0 y4=0
комбинационной таблицей. В общем случае таблица истинности содержит 2 n
строк и m+n столбцов. Проиллюстрируем построение таблицы истинности на 1 0 1 m5 = x2 x1 x0 y5=1
примере. 1 1 0 m6 = x2 x1 x0 y6=1
1 1 1 m7 = x2 x1 x0 y7=1
19 20
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
