Конспекты лекций по цифровой электронике. Насыров И.А. - 12 стр.

       Основой кубической формы является представление каждого набора входных                   отличаются только первым членом. Поэтому они образуют 1-куб вида –11.
переменных в качестве n-мерного вектора. Вершины этих векторов геометрически                    Аналогично, 2-ой и 3-й 0-кубы образуют 1-куб 10- и т.д. Единичный
могут быть представлены как вершины n-мерного куба. Отмечая точками вершины                     кубический комплекс заданной ФАЛ будет иметь вид: K1= (-11, 10-, 11-, 1-1).
векторов, для которых ФАЛ равна единице, получаем геометрическое представление                         Аналогично может быть получен и двоичный кубический комплекс,
функции куба.                                                                                   состоящий из одного 2-куба: K2= (1--).
                                                                                                Из сказанного следует, что размерность куба (его ранг) определяется числом
Пример 2.7. Задана ФАЛ        z ( x2 , x1 , x0 ) = ∑ (3,4,5,6,7) . Дать геометрическое   несовпадающих координат, т.е. числом прочерков в его записи.
представление в виде куба.                                                                      Объединение кубических комплексов K0, K1, …, Km для ФАЛ n-переменных
Решение. Графическое решение задачи проиллюстрировано на рисунке 2.2.                    образует ее кубический комплекс: K ( z ) = U (K 0 , K1 , K K m ) .

                                                                                         Контрольные вопросы и упражнения к разделу 2
                                                                                         1. Что называется булевыми константами и переменными в алгебре логики?
                                                                                         2. Назовите основные операции булевой алгебры. Как они описываются с помощью
                                                                                            таблиц истинности; с помощью алгебраических выражений.
                                                                                         3. Что отражают теоремы булевой алгебры? Сформулируйте теоремы Де-Моргана,
                                                                                            законы ассоциативности, коммутативности, поглощения.
                                                                                         4. Какие функции алгебры логики называются полностью и частично
                                                                                            определенными? Что такое факультативное значение функции и запрещенный
Рис. 2.2. Геометрическое    Рис. 2.3. Единичный куби-   Рис. 2.4. Двоичный куб для          код?
          представление               ческий комплекс             ФАЛ (см. пример        5. Приведите пример описания ФАЛ в словесной форме; в виде таблицы
          ФАЛ.                        ФАЛ (см. пример             2.8).                     истинности; в виде алгебраического выражения; в дизъюнктивной и
                                      2.8).                                                 конъюнктивной нормальной формах; в виде последовательности чисел; в виде
                                                                                            куба.
       Очевидно, что наборы переменных, расположенные на концах ребер куба,
                                                                                         6. Что такое нулевой куб; единичный куб; двоичный куб; единичный и двоичный
отличаются только одной переменной. Такие наборы (коды) принято называть
                                                                                            кубические комплексы; кубический комплекс?
соседними.
                                                                                         7. Дайте определение ранга куба.
       Каждую функцию куба, в которой функция принимает единичное значение,
называют нулевым кубом (0-кубом). Записывается 0-куб последовательностью                 3. ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СХЕМЫ
образовавших его входных переменных, т.е. кодом, соответствующим конституенте
единицы. Множество нулевых кубов образуют нулевой кубический комплекс K0                 3.1. Принцип двойственности
ФАЛ.                                                                                     Пользуясь ФАЛ, мы до сих пор ничего не говорили о структуре логического
       Если два нулевых куба комплекса K0 отличаются только по одной координате          устройства, представляя его аналогично устройству на рис. 2.1 в виде некоторого
(переменной), т.е. два набора переменных, для которых ФАЛ равна единице,                 «черного ящика». Однако ФАЛ однозначно определят и внутреннюю структуру
являются соседними, то они образуют единичный куб (1-куб). Геометрически это             логического устройства. Если мы располагаем элементарными узлами,
соответствует ребру исходного n-мерного куба (рис. 2.3), 1-куб записывается              реализующими основные логические операции, заданные постулатами в п. 2.1, то с
последовательностью общих элементов образовавших его 0-кубов с прочерком                 их помощью можно построить логическую схему, выполняющую заданный алгоритм
несовпадающих элементов. Множество единичных кубов образует единичный                    преобразования исходных логических переменных. В общем случае характер
кубический комплекс K1.                                                                  реальных логических переменных не имеет значения. Он может быть произвольным.
       Аналогично, если два единичных куба комплекса K1 отличаются только по                    В соответствии с перечнем логических операций различают три основных
одной координате (переменной), то эти единичные кубы образуют двоичный куб (2-           логических элемента (ЛЭ): И, ИЛИ, НЕ. Условные графические обозначения этих ЛЭ
куб). Геометрически это соответствует грани исходного n-мерного куба (рис. 2.4). 2-      показаны на рисунке 3.1.
куб также записывается последовательностью общих элементов, образовавших его 1-
кубов с прочерком несовпадающих элементов, а множество двоичных кубов
образуют двоичный кубический комплекс K2. И так далее.
Пример 2.8. Для ФАЛ из примера 2.7 записать кубические комплексы.
Решение. Нулевой кубический комплекс содержит пять членов по числу конституент
          единицы ФАЛ. K0= (011, 100, 101, 110, 111).
              Сравнивая записанные 0-кубы, можно увидеть, что 1-й и 5-й кубы                     Рис. 3.1. Условные графические изображения логических элементов.
                                        23                                                                                      24