ВУЗ:
Составители:
5
решения поставленной задачи показали, что оптимальной при поставленных
требованиях является система счисления с основанием
е=2,71.... Однако практически
создать такую систему сложно и технически нецелесообразно.
Широкое распространение в цифровой технике получила позиционная
система счисления с основанием q = 2 — двоичная система счисления. По
определению в такой системе фигурируют только два цифровых знака 0 и 1.
Цифровые системы оперируют действительными, целыми и дробными
числами, которые могут иметь две формы представления: с
плавающей запятой, с
фиксированной запятой.
При использовании плавающей запятой число состоит из двух частей:
мантиссы (m), содержащей значащие цифры числа, и порядка (p), показывающего
степень, в которую надо возвести основание счисления (q), чтобы полученное при
этом число, умноженное на мантиссу, давало истинное значение представляемого
числа:
p
q
mqA =
.
Обычно число дается в нормализованном виде, когда его мантисса является
правильной дробью, причем первая значащая цифра (единица) следует
непосредственно после запятой: например, A
2
= 0,1010×2
10
= 10, где m = 0,1010; p =
10; q = 2.
При использовании фиксированной запятой число представляется в виде
единого целого, причем положение запятой в используемой разрядной сетке жестко
фиксировано. Обычно числа с фиксированной запятой даются в виде правильной
дроби. Для этого все числа умножают на масштабный коэффициент, чтобы перевести
их в правильную дробь. Цифровые системы, использующие
числа с плавающей
запятой, сложнее, чем использующие числа с фиксированной запятой, так как при
этом требуется выполнение операций как над мантиссами, так и над порядками.
Однако диапазон представляемых чисел при одинаковом числе разрядов в системах с
плавающей запятой значительно больше.
Для представления знака числа используется дополнительный знаковый
разряд z, который обычно располагается перед числовыми разрядами. Для
положительных чисел значение знакового разряда z = 0, для отрицательных чисел
z=1. Для чисел с плавающей запятой вводятся отдельные знаковые разряды для
мантиссы и для порядка чисел.
При работе с устройствами вычислительной техники приходится сталкиваться
с позиционными системами счисления с основанием 2, 8, 10 и 16. Рассмотрим ряд
правил, позволяющих выполнить
преобразование чисел из одной системы счисления
в другую.
Переход от системы счисления с меньшим основанием к системе с большим
основанием осуществляется при помощи выражения (1.1), которое справедливо как
для целой, так и дробной частей числа.
Пример 1.1. Преобразовать двоичное число А
2
=1011 в десятичное А
10
.
Решение. Согласно выражению (1.1) для q=2 получим
1121212021
0123
10
=⋅+⋅+⋅+⋅=A
Переход от системы счисления с большим основанием к системе счисления с
меньшим основанием выполняется с соблюдением следующих правил:
6
а) целая часть исходного числа делится на основание новой системы счисления;
б) дробная часть исходного числа умножается на основание новой системы
счисления.
Пример 1.2. Преобразовать в двоичную систему счисления десятичное число 25,12.
Решение
.
а) Преобразуем целую часть:
25:2 = 12+1 (А
0
= 1)
12:2 = 6+0 (А
1
= 0)
6:2 = 3+0 (А
2
= 0)
3:2 = 1+1 (А
3
= 1)
1:2 = 0+1 (А
4
= 1)
Запись целой части двоичного числа А
2
производится с последнего результата
деления, т.е. 25
10
= 11001
2
.
б) Преобразуем дробную часть:
0,12⋅2 = 0+0,24
(А
-1
= 0)
0,24⋅2 = 0+0,48
(А
-2
= 0)
0,48⋅2 = 0+0,96
(А
-3
= 0)
0,96⋅2 = 1+0,92
(А
-4
= 1)
0,92⋅2 = 1+0,84
(А
-5
= 1)
Запись дробной части двоичного числа производится с первого результата
умножения, т.е. 0,12
10
= 0,0001
2
.
Таким образом, окончательно получим: 25,12
10
≈ 11001,0001
2
.
В таблице 1.1 для примера приведен натуральный ряд чисел в различных
системах счисления.
Переход из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцате-
ричную может быть выполнен более простым путем. Так как 8 = 2
3
, а 16=2
4
, то один
разряд числа, записанного в восьмеричной системе счисления, преобразуется в три
разряда, а один разряд в числа в шестнадцатеричной системе счисления – в четыре
разряда числа двоичной системы счисления.
Таблица 1.1
Натуральный ряд чисел в различных системах счисления
Десятерич-
ная
Шестнад-
цатеричная
Восьмерич-
ная
Двоичная
Десятерич-
ная
Шестнад-
цатеричная
Восьмерич-
ная
Двоичная
0 0 0 0 10 A 12 1010
1 1 1 1 11 B 13 1011
2 2 2 10 12 C 14 1100
3 3 3 11 13 D 15 1101
4 4 4 100 14 E 16 1110
5 5 5 101 15 F 17 1111
6 6 6 110 16 10 20 10000
7 7 7 111 17 11 21 10001
8 8 10 1000 18 12 22 10010
9 9 11 1001 19 13 23 10011
решения поставленной задачи показали, что оптимальной при поставленных а) целая часть исходного числа делится на основание новой системы счисления;
требованиях является система счисления с основанием е=2,71.... Однако практически б) дробная часть исходного числа умножается на основание новой системы
создать такую систему сложно и технически нецелесообразно. счисления.
Широкое распространение в цифровой технике получила позиционная Пример 1.2. Преобразовать в двоичную систему счисления десятичное число 25,12.
система счисления с основанием q = 2 — двоичная система счисления. По Решение.
определению в такой системе фигурируют только два цифровых знака 0 и 1. а) Преобразуем целую часть:
Цифровые системы оперируют действительными, целыми и дробными 25:2 = 12+1 (А0= 1)
числами, которые могут иметь две формы представления: с плавающей запятой, с 12:2 = 6+0 (А1= 0)
фиксированной запятой. 6:2 = 3+0 (А2= 0)
При использовании плавающей запятой число состоит из двух частей: 3:2 = 1+1 (А3= 1)
мантиссы (m), содержащей значащие цифры числа, и порядка (p), показывающего 1:2 = 0+1 (А4= 1)
степень, в которую надо возвести основание счисления (q), чтобы полученное при
Запись целой части двоичного числа А2 производится с последнего результата
этом число, умноженное на мантиссу, давало истинное значение представляемого
деления, т.е. 2510= 110012.
числа:
б) Преобразуем дробную часть:
0,12⋅2 = 0+0,24 (А-1= 0)
Aq = mq p . 0,24⋅2 = 0+0,48 (А-2= 0)
Обычно число дается в нормализованном виде, когда его мантисса является 0,48⋅2 = 0+0,96 (А-3= 0)
правильной дробью, причем первая значащая цифра (единица) следует 0,96⋅2 = 1+0,92 (А-4= 1)
непосредственно после запятой: например, A2 = 0,1010×210 = 10, где m = 0,1010; p = 0,92⋅2 = 1+0,84 (А-5= 1)
10; q = 2. Запись дробной части двоичного числа производится с первого результата
При использовании фиксированной запятой число представляется в виде умножения, т.е. 0,1210= 0,00012.
единого целого, причем положение запятой в используемой разрядной сетке жестко Таким образом, окончательно получим: 25,1210≈ 11001,00012.
фиксировано. Обычно числа с фиксированной запятой даются в виде правильной В таблице 1.1 для примера приведен натуральный ряд чисел в различных
дроби. Для этого все числа умножают на масштабный коэффициент, чтобы перевести системах счисления.
их в правильную дробь. Цифровые системы, использующие числа с плавающей Переход из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцате-
запятой, сложнее, чем использующие числа с фиксированной запятой, так как при ричную может быть выполнен более простым путем. Так как 8 = 23, а 16=24, то один
этом требуется выполнение операций как над мантиссами, так и над порядками. разряд числа, записанного в восьмеричной системе счисления, преобразуется в три
Однако диапазон представляемых чисел при одинаковом числе разрядов в системах с разряда, а один разряд в числа в шестнадцатеричной системе счисления – в четыре
плавающей запятой значительно больше. разряда числа двоичной системы счисления.
Для представления знака числа используется дополнительный знаковый Таблица 1.1
разряд z, который обычно располагается перед числовыми разрядами. Для Натуральный ряд чисел в различных системах счисления
положительных чисел значение знакового разряда z = 0, для отрицательных чисел
Восьмерич-
Восьмерич-
z=1. Для чисел с плавающей запятой вводятся отдельные знаковые разряды для
цатеричная
цатеричная
Десятерич-
Десятерич-
Шестнад-
Шестнад-
Двоичная
Двоичная
мантиссы и для порядка чисел.
ная
ная
ная
ная
При работе с устройствами вычислительной техники приходится сталкиваться
с позиционными системами счисления с основанием 2, 8, 10 и 16. Рассмотрим ряд
правил, позволяющих выполнить преобразование чисел из одной системы счисления
в другую. 0 0 0 0 10 A 12 1010
Переход от системы счисления с меньшим основанием к системе с большим 1 1 1 1 11 B 13 1011
основанием осуществляется при помощи выражения (1.1), которое справедливо как 2 2 2 10 12 C 14 1100
для целой, так и дробной частей числа. 3 3 3 11 13 D 15 1101
Пример 1.1. Преобразовать двоичное число А2=1011 в десятичное А10. 4 4 4 100 14 E 16 1110
Решение. Согласно выражению (1.1) для q=2 получим 5 5 5 101 15 F 17 1111
6 6 6 110 16 10 20 10000
A10 = 1 ⋅ 23 + 0 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 + 1 ⋅ 20 = 11 7 7 7 111 17 11 21 10001
Переход от системы счисления с большим основанием к системе счисления с 8 8 10 1000 18 12 22 10010
меньшим основанием выполняется с соблюдением следующих правил: 9 9 11 1001 19 13 23 10011
5 6
