ВУЗ:
Составители:
7
1.2. Кодирование чисел в двоичной системе счисления
В двоичном счислении любое число можно представить двумя цифрами: 0 и 1. Для
представления этих чисел в цифровых системах достаточно иметь электронные
схемы, которые могут принимать два состояния, четко различающиеся значением
какой-либо электрической величины — напряжения или тока. Одному из значений
этой величины соответствует цифра 0,
другому — 1. Относительная простота
создания электронных схем с двумя электрическими состояниями и привела к тому,
что двоичное представление чисел доминирует в современной цифровой технике.
Для упрощения выполнения арифметических операций в цифровой технике
вводят специальные двоичные коды чисел. Например, операцию вычитания в
цифровых системах реализуют с помощью операции сложения, представляя
вычитаемое в одном из специальных кодов. Одной из разновидностей таких кодов
является обратный код числа
2
A , который получается заменой всех 0 в числе на 1 и
наоборот (табл. 1.2). Более подробно алгоритмы выполнения арифметических
операций, используемые в цифровых системах, будут рассмотрены в следующем
параграфе. Еще одной разновидностью специальных кодов является дополнительный
код числа
2
~
A
, который образуется из обратного прибавлением 1 к младшему разряду
(табл. 1.2). Дополнительный код
2
~
A числа А
2
называется также дополнением числа
до 2, так как для цифр в каждом разряде числа 10
~
=
+
jj
aa (число 2 в двоичной
форме).
Таблица 1.2
Наиболее распространенные коды чисел от 0 до 15
Форма представления
Десятичное
число
Двоичное
счисление
Обратный код
Дополнительный
код
Циклический
код Грея
A
10
a
3
a
2
a
1
a
0
b
3
b
2
b
1
b
0
c
3
c
2
c
1
c
0
d
3
d
2
d
1
d
0
0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1
2 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1
3 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
4 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
5 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1
6 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
7 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0
8 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0
9 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1
10 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1
11 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
12 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0
13 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
15 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
Помимо рассмотренных кодов в цифровых системах используются и другие
способы двоичного представления чисел. В качестве примера в табл. 1.2 приведен
8
циклический код Грея, особенность этого кода заключается в том, что при переходе к
каждому последующему числу в коде изменяется значение только одного двоичного
разряда. При этом 2-разрадные числа образуют циклическую последовательность
00
– 01 - 11 – 10 - 00 (0 – 1 – 3 – 2 - 0), 3-разрядные — последовательность 000 – 001 –
011 – 010 – 110 - 111 – 101 – 100 - 000 (0 – 1 – 3 – 2 – 6 – 7 – 5 – 4 - 0) и т. д. Такая
цикличность кода является весьма удобной, например, для кодирования угловых
перемещений в преобразователях угла поворота в цифровой код.
Перевод десятичных чисел в двоичный код требует использования достаточно
сложных схем-преобразователей и занимает относительно долгое время. Более
просто и быстро осуществляется перевод десятичных чисел в
двоично-десятичный
код. При этом цифра в каждом разряде десятичного числа заменяется
соответствующим 4-разрядным двоичным числом (тетрадой) согласно таблице 1.3.
Например, число А
10
= 729 в двоично-десятичном коде записывается в виде
{
{
{
012
10/2
100100100111
тетрадатетрадатерада
A =
Для выполнения арифметических операций над двоично-десятичными
числами наиболее удобно использовать так называемые самодополняющие коды, к
числу которых относятся код Айкена, код «с избытком 3» (табл. 1.3) и некоторые
другие. Код Айкена отличается от обычного двоично-десятичного, имеющего
весовые коэффициенты разрядов в тетрадах 8—4—2—1, другими значениями
весовых коэффициентов разрядов: 2—4—2—1. Код «с избытком 3» получается
из
обычного двоично-десятичного арифметическим прибавлением числа 3 (двоичное
число 0011).
Таблица 1.3
Наиболее распространенные виды двоично-десятичного кодирования
Десятичное
число
Двоично-десятичный
код (8-4-2-1)
Код Айкена
(2-4-2-1)
Код
«с избытком три»
А
10
a
3
a
2
a
1
a
0
b
3
b
2
b
1
b
0
c
3
c
2
c
1
c
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0
2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1
3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1
5 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0
6 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1
7 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0
8 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1
9 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
Как видно из табл. 1.3, обратный код
10/2
A числа, представленного в каком-
либо самодополняющем двоично-десятичном коде A
2/10
, является его двоичным
дополнением до 9. Например, число 5 в коде «с избытком 3» A
2/10
= 1000 имеет
обратный код
10/2
A = 0111, соответствующий числу 4 в коде «с избытком 3»,
которое «дополняет» число 5 до 9, так как 5 + 4 = 9.
Можно использовать для кодирования одного разряда десятичных и более
1.2. Кодирование чисел в двоичной системе счисления циклический код Грея, особенность этого кода заключается в том, что при переходе к
В двоичном счислении любое число можно представить двумя цифрами: 0 и 1. Для каждому последующему числу в коде изменяется значение только одного двоичного
представления этих чисел в цифровых системах достаточно иметь электронные разряда. При этом 2-разрадные числа образуют циклическую последовательность 00
схемы, которые могут принимать два состояния, четко различающиеся значением – 01 - 11 – 10 - 00 (0 – 1 – 3 – 2 - 0), 3-разрядные — последовательность 000 – 001 –
какой-либо электрической величины — напряжения или тока. Одному из значений 011 – 010 – 110 - 111 – 101 – 100 - 000 (0 – 1 – 3 – 2 – 6 – 7 – 5 – 4 - 0) и т. д. Такая
этой величины соответствует цифра 0, другому — 1. Относительная простота цикличность кода является весьма удобной, например, для кодирования угловых
создания электронных схем с двумя электрическими состояниями и привела к тому, перемещений в преобразователях угла поворота в цифровой код.
что двоичное представление чисел доминирует в современной цифровой технике. Перевод десятичных чисел в двоичный код требует использования достаточно
Для упрощения выполнения арифметических операций в цифровой технике сложных схем-преобразователей и занимает относительно долгое время. Более
вводят специальные двоичные коды чисел. Например, операцию вычитания в просто и быстро осуществляется перевод десятичных чисел в двоично-десятичный
цифровых системах реализуют с помощью операции сложения, представляя код. При этом цифра в каждом разряде десятичного числа заменяется
вычитаемое в одном из специальных кодов. Одной из разновидностей таких кодов соответствующим 4-разрядным двоичным числом (тетрадой) согласно таблице 1.3.
Например, число А10 = 729 в двоично-десятичном коде записывается в виде
является обратный код числа A2 , который получается заменой всех 0 в числе на 1 и
наоборот (табл. 1.2). Более подробно алгоритмы выполнения арифметических
операций, используемые в цифровых системах, будут рассмотрены в следующем A2 / 10 = 0111
{ 0010
{ 1001
{
параграфе. Еще одной разновидностью специальных кодов является дополнительный терада 2 тетрада1 тетрада 0
~ Для выполнения арифметических операций над двоично-десятичными
код числа A2 , который образуется из обратного прибавлением 1 к младшему разряду
числами наиболее удобно использовать так называемые самодополняющие коды, к
~ числу которых относятся код Айкена, код «с избытком 3» (табл. 1.3) и некоторые
(табл. 1.2). Дополнительный код A2 числа А2 называется также дополнением числа
другие. Код Айкена отличается от обычного двоично-десятичного, имеющего
~
до 2, так как для цифр в каждом разряде числа a j + a j = 10 (число 2 в двоичной весовые коэффициенты разрядов в тетрадах 8—4—2—1, другими значениями
форме). весовых коэффициентов разрядов: 2—4—2—1. Код «с избытком 3» получается из
Таблица 1.2 обычного двоично-десятичного арифметическим прибавлением числа 3 (двоичное
Наиболее распространенные коды чисел от 0 до 15 число 0011).
Таблица 1.3
Форма представления
Десятичное Наиболее распространенные виды двоично-десятичного кодирования
число Двоичное Дополнительный Циклический
Обратный код Десятичное Двоично-десятичный Код Айкена Код
счисление код код Грея
число код (8-4-2-1) (2-4-2-1) «с избытком три»
A10 a3 a2 a1 a0 b3 b2 b1 b0 c3 c2 c1 c0 d3 d2 d1 d0
А10 a3 a2 a1 a0 b3 b2 b1 b0 c3 c2 c1 c0
0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0
2 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1
3 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0
4 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1
5 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1
5 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0
6 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
6 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1
7 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0
7 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0
8 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0
8 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1
9 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1
9 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
10 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1
11 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 Как видно из табл. 1.3, обратный код A2 / 10 числа, представленного в каком-
12 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0
13 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 либо самодополняющем двоично-десятичном коде A2/10, является его двоичным
дополнением до 9. Например, число 5 в коде «с избытком 3» A2/10= 1000 имеет
14 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
15 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 обратный код A2 / 10 = 0111, соответствующий числу 4 в коде «с избытком 3»,
Помимо рассмотренных кодов в цифровых системах используются и другие которое «дополняет» число 5 до 9, так как 5 + 4 = 9.
способы двоичного представления чисел. В качестве примера в табл. 1.2 приведен Можно использовать для кодирования одного разряда десятичных и более
7 8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
