Методическое пособие по курсу "Интерактивные графические системы". Найханов В.В - 26 стр.

       Т - символ транспонирования;
          ⎡r ( 0 ,0 )     r ( 0 ,1 )   rv ( 0 ,0 )     rv ( 0 ,1 ) ⎤
          ⎢                                                        ⎥
          ⎢                                                        ⎥
          ⎢r ( 1,0 )     r ( 1,1 )      rv ( 1,0 )     rv ( 1,1 ) ⎥
       Q= ⎢                                                        ⎥.               (2.9)
          ⎢                                                        ⎥
          ⎢ru ( 0 ,0 )   ru ( 0 ,1 )   ruv ( 0 ,0 )   ruv ( 0 ,1 ) ⎥
          ⎢                                                        ⎥
          ⎢ru ( 1,0 )    ru ( 1,1 )    ruv ( 1,0 )     ruv ( 1,1 )⎥
          ⎢⎣                                                       ⎥⎦
Заметим, что порция поверхности (2.7) полностью определена через
векторы r, ru, rv и ruv в ее четырех углах. Порция поверхности этого типа
определяется тензорным (или декартовым) произведением. Понятие
«тензорное произведение» связано с тем обстоятельством, что матрица (2.9)
зависит не от скаляров, а от векторов, и поэтому представляет собой тензор.
Если строить составную поверхность их таких бикубических порций,
можно легко обнаружить, что достигается непрерывность градиента во всех
граничных точках порций.
      Действительно, ru (u, v) = Fu (u) QT F (v). Отсюда ru (i, v) = α 0 (v) ru (i,
0) + α 1 (v) ru (i, 1) + β 0 (v) ruv (i, 0) + β 1 (v) ruv (i, 1); ru (i, 0) и ru (i, 1)
непрерывны на каркасе (это коэффициенты кубического параметрического
сплайна). Если при этом сделать непрерывными ruv в углах порции, то
составная поверхность будет непрерывна до первой производной.
      Недостатки такого метода обнаруживаются, когда пытаются описать
поверхность порции на непрямоугольной области, т.е. когда разбиение по
каркасу неравномерное. В этом случае противоположные границы порции
имеют различные параметрические длины. В реальных условиях дело
обстоит именно так: линии каркаса расположены плотнее в тех местах, где
кривизна изменяется сильнее. В такой ситуации «навязывание»
противоположным границам порции одинаковых параметрических длин
дает поверхность с нежелательными плоскими областями или колебаниями.
      В связи с этим была поставлена и решена задача о построении
уравнения порции поверхности для любой непрямоугольной области
изменения параметров.


                2.3. Поверхности на непрямоугольном каркасе

        Рассмотрим произвольный каркас поверхности, образованный
пересечением s - кривых с t - кривыми. Пусть sij, tij (i,j = 0,1) значения
параметров в узлах конкретной порции (рис.2.2). Обозначим
параметрические длины соответствующих граничных кривых через s0, s1, t0
и t1, т.е. si = si1 - si0, tj = t1j - t0j.
        Граничные кривые порции r (0, v), r (1, v), r (u, 0) и r (u, 1) тогда
запишутся следующим образом:
r (i, v) = r (i, 0) α 0 (v) + r (i, 1) α 1 (v) + [rt (i, 0) β 0 (v) + rt (i, 1) β 1 (v)] ti ;