Методическое пособие по курсу "Интерактивные графические системы". Найханов В.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Тогда r (u, v), 0<u, v<1 представляет внутренность порции
поверхности; r (u, 0), r (1, v), r (u, 1) и r (0, v) представляют четыре
известные граничные кривые. Тем самым задача определения порции
поверхности сводится к нахождению функции r (u, v), которая при u = 0, u =
1, v = 0 и v = 1 представляет нужную граничную кривую.
Следуя Кунсу, рассмотрим сначала более простую задачу построения
порции поверхности, если заданы только две ее границы
: r (u, 0) и r (1, v).
Применяя интерполяцию Эрмита (1.22) (только в рассматриваемом случае
параметрическая длина равна 1, т.е. h = 1) в u -направлении, получим
поверхность:
r
1
(u, v) =
α
0
(u) r (0, v) +
α
1
(u) r (1, v) +
+
β
0
(u) r
u
(0, v) +
β
1
(u) r
u
(1, v), (2.3)
которая интерполирует две граничные кривые r (0, v) и r (1, v) имеет
заданные наклоны r
u
(0, v) и r
u
(1, v) поперек границ.
Точно также можно построить еще одну поверхность, которая будет
интерполировать две кривые r (u, 0) и r (u, 1) в v -на правлении:
r
2
(u, v) =
α
0
(v) r (u, 0) +
α
1
(v) r (u, 1) +
+
β
0
(v) r
v
(u, 0) +
β
1
(v) r
v
(u, 1). (2.4)
Легко проверить, что сумма r
1
+ r
2
не дает требуемой поверхности.
Чтобы ее построить, необходимо вычесть дополнительное слагаемое,
получаемое с помощью того же метода интерполяции в обоих направлениях
при использовании только информации об угловых точках, т.е.
r (u, v) = r
1
(u, v) + r
2
(u, v) - r
3
(u, v).
Вспомним, что граничные кривые описываются кубическими
параметрическими сплайнами с параметрической длиной, равной единице:
r (i, v) =
α
0
(v) r (i, 0) +
α
1
(v) r (i, 1) +
+
β
0
(v) r
v
(i, 0) +
β
1
(v) r
v
(i, 1); (2.5)
r (u, j) =
α
0
(u) r (0, j) +
α
1
(u) r (1, j) +
+
β
0
(u) r
u
(0, j) +
β
1
(u) r
u
(1, j);
i, j = 0,1.
Поперечные градиенты r
u
(0, v), r
u
(1, v), r
v
(u, 0) и r
v
(u, 1)
определим по аналогии с (2.5):
r
u
(i, v) =
α
0
(v) r
u
(i, 0) +
α
1
(v) r
u
(i, 1) +
+
β
0
(v) r
uv
(i, 0) +
β
1
(v) r
uv
(i, 1);
r
v
(u, j) =
α
0
(u) r
v
(0, j) +
α
1
(u) r
v
(1, j) + (2.6)
+
β
0
(u) r
uv
(0, j) +
β
1
(u) r
uv
(1, j).
После подстановки этих выражений (2.5) и (2.6) в (2.3) и (2.4)
оказывается, что все три члена r
1
, r
2
и r
3
равны между собой. В результате
r (u, v) = F (u) Q F
T
(v), (2.7)
где F (u) = [
α
0
(u),
α
1
(u),
β
0
(u),
β
1
(u)] - матрица-строка;
F
T
(v) = [
α
0
(v), α
1
(v),
β
0
(v),
β
1
(v)]
T
- матрица-столбец; (2.8) 
       Тогда r (u, v),              0

Страницы