Методическое пособие по курсу "Интерактивные графические системы". Найханов В.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

После соответствующих преобразований получим выражение для
r (u, v):
r (u, v) = F (u) Q (u, v) F
T
(v), (2.27)
где F (u) и F
T
(v) были определены в (2.8), а
Q (u, v) =
rrrturtu
rrrturtu
rsvrsvr l rl
rsvrsvr l r
tvtv
tv tv
s u s u st st
s u s u st st
(,) (,) (,)() (,)()
(,) (,) (,) ( ) (,) ( )
( ,) ( ) ( ,) ( ) ( ,) ( ,)
(,) ( ) (,) ( ) (,) (,
00 01 00 01
10 11 10 11
00 01 00 01
10 11 10 11
00 01
10
)l
11
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
. (2.28)
Здесь введено обозначение
l
ij
= s
u
(v) t
i
+ s
j
t
v
(u) - s
j
t
i
, i,j = 0,1; (2.29)
s
u
(v) и t
v
(u) определяются по формулам (2.20) и (2.21).
Сравним полученное уравнение порции поверхности на
непрямоугольной области (2.27) с порцией поверхности Кунса,
определенного тензорным произведением (2.7).
Разница состоит в том, что появились множители перед первыми и
перекрестными производными. В них учитывается непрямоугольность
области. Матрица Q теперь зависит от параметров u и v. При s
0
= s
1
= 1 и
t
0
= t
1
= 1 эти множители тождественно равны единице, и, как частный
случай, получается поверхность тензорного произведения, определяемая на
единичном квадрате. Таким образом, уравнение (2.27) является обобщением
описания такой поверхности на произвольный четырехугольник.
Можно проверить, что обеспечивается непрерывность производных r
s
и r
t
поперек границ порции, что важно, когда переходят к описанию
составной поверхности. Рассмотрим, для примера, поведение r
s
(i, v).
Из (2.12) следует, что
r
u
(u, v) = r
s
(u, v) s
u
(v) + r
t
(u, v) t
u
(u, v).
При u = i (i = 0,1)
r
u
(i, v) = r
s
(i, v) s
u
(v), (2.30)
так как t
u
(i, v) = 0 (из (2.19)).
Из (2.27) получим
r
u
(u, v) = F
u
(u) Q (u, v) F
T
(v) + F (u) Q
u
(u, v) F
T
(v).
Тогда при u = i
r
u
(i, v) = F
u
(i) Q (i, v) F
T
(v), (2.31)
так как Q
u
(i, v) = 0 (это следует из (2.28)).
Сравнивая (2.30) и (2.31), получим
r
s
(i, v) s
u
(v) = [r
s
(i, 0)
α
0
(v) + r
s
(i, 1)
α
1
(v) +
+ r
st
(i, 0) t
i
β
0
(v) + r
st
(i, 1)t
i
β
1
(v)] s
u
(v)
или
r
s
(i, v) = r
s
(i, 0)
α
0
(v) + r
s
(i, 1)
α
1
(v) +
+ [r
st
(i, 0)
β
0
(v) + r
st
(i, 1)
β
1
(v)] t
i
. 
       После соответствующих преобразований получим выражение для
r (u, v):
            r (u, v) = F (u) Q (u, v) FT(v),              (2.27)
              T
где F (u) и F (v) были определены в (2.8), а
           ⎡r ( 0 ,0 )            r ( 0 ,1 )          rt ( 0 ,0 )t v ( u ) rt ( 0 ,1 )t v ( u ) ⎤
           ⎢                                                                                    ⎥
           ⎢                                                                                    ⎥
           ⎢r ( 1,0 )             r ( 1,1 )           rt ( 1,0 )t v ( u ) rt ( 1,1 )t v ( u )⎥
Q (u, v) = ⎢                                                                                    ⎥.   (2.28)
           ⎢                                                                                    ⎥
           ⎢rs ( 0 ,0 )su ( v )   rs ( 0 ,1 )su ( v ) rst ( 0 ,0 )l00         rst ( 0 ,1 )l01 ⎥
           ⎢                                                                                    ⎥
           ⎢rs ( 1,0 )su ( v )    rs ( 1,1 )su ( v ) rst ( 1,0 )l10           rst ( 1,1 )l11 ⎥
           ⎢⎣                                                                                   ⎥⎦
Здесь введено обозначение
               lij = su (v) ti + sj tv (u) - sj ti, i,j = 0,1;                           (2.29)
su (v) и tv (u) определяются по формулам (2.20) и (2.21).
       Сравним          полученное            уравнение           порции        поверхности     на
непрямоугольной области (2.27) с порцией поверхности Кунса,
определенного тензорным произведением (2.7).
       Разница состоит в том, что появились множители перед первыми и
перекрестными производными. В них учитывается непрямоугольность
области. Матрица Q теперь зависит от параметров u и v. При s0 = s1 = 1 и
t0 = t1 = 1 эти множители тождественно равны единице, и, как частный
случай, получается поверхность тензорного произведения, определяемая на
единичном квадрате. Таким образом, уравнение (2.27) является обобщением
описания такой поверхности на произвольный четырехугольник.
       Можно проверить, что обеспечивается непрерывность производных rs
и rt поперек границ порции, что важно, когда переходят к описанию
составной поверхности. Рассмотрим, для примера, поведение rs (i, v).
       Из (2.12) следует, что
               ru (u, v) = rs (u, v) su (v) + rt (u, v) tu (u, v).
При u = i (i = 0,1)
                       ru (i, v) = rs (i, v) su (v),                                     (2.30)
так как tu (i, v) = 0 (из (2.19)).
       Из (2.27) получим
       ru (u, v) = Fu (u) Q (u, v) FT(v) + F (u) Qu (u, v) FT(v).
Тогда при u = i
       ru (i, v) = Fu (i) Q (i, v) FT(v),                                               (2.31)
так как Qu (i, v) = 0 (это следует из (2.28)).
       Сравнивая (2.30) и (2.31), получим
       rs (i, v) su (v) = [rs (i, 0) α 0 (v) + rs (i, 1) α 1 (v) +
                         + rst (i, 0) ti β 0 (v) + rst (i, 1)ti β 1 (v)] su (v)
или
       rs (i, v) = rs (i, 0) α 0 (v) + rs (i, 1) α 1 (v) +
        + [rst (i, 0) β 0 (v) + rst (i, 1) β 1 (v)] ti.

Страницы