Методическое пособие по курсу "Интерактивные графические системы". Найханов В.В - 4 стр.

              1. С О С ТА В Н Ы Е К Р И В Ы Е И С П Л А Й Н Ы

                                          1.1. Введение

      Видное место в системах геометрического моделирования занимает
конструирование кривых и поверхностей. При этом чаще всего возникает
задача восполнения данных: имеется некоторое количество точек, через
которые следует провести кривую. Это ни что иное, как классическая задача
интерполяции.
      Интерполяция - частный случай более общей задачи аппроксимации
(приближенного представления), возникающей при замене кривой,
описываемой функцией сложной природы, другой кривой, в некотором
смысле близкой заданной, имеющей более простые уравнения.
      Задача сглаживания кривой возникает, когда данные, используемые
для ее восстановления, определены в результате измерений или
эмпирически с некоторой погрешностью либо представляют кривую,
описываемую      функцией,     недостаточно        гладкой   (например,    не
дифференцируемой или дифференцируемой всего несколько раз).
      Типичная задача интерполяции ставится следующим образом: по
заданной таблице чисел (xi, f(xi)), i = 0,1,...,N восстановить функцию f(x) с
той или иной точностью на отрезке [ a ,b] . Классический метод ее решения
состоит в построении интерполяционного многочлена Лагранжа.


                                1.2 Многочлен Лагранжа

     Интерполяционный многочлен Лагранжа (рис 1.1) определенного
равенством
                                                       N
                                      LN (x) =       ∑ f (x ) L
                                                      i =0
                                                               i     i   (x)                 (1.1)
где
                        (x − x 0 )...(x − xi −1 )(x − xi +1 )...(x − x N )
           Li (x) =                                                          .               (1.2)
                      (xi − x 0 )...(xi − xi −1 )(xi − xi +1 )...(xi − x N )
          y




                                                                                         x
                 a= x 0                                 xi                       xN= b
                      Рис.1.1 График многочлена Лагранжа.

Из определения Li (x) следует, что