ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
28
1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
В радиофизике и радиотехнике колебания и сигналы могут быть описаны
однозначно не только функциями времени , но и функциями частоты (спектрами).
Часто такое описание достигается путем гармонического спектрального анализа.
Сигнал
st()
является периодической функцией времени , если для него
справедливо равенство
ststkTk()(),,,,...
=
+
=
±
±
012 , (1.1)
где
T
- период сигнала. Пример периодического сигнала приведен на рис.1.1, где
величина
τ
определяет длительность импульса периодического сигнала на
интервале, равном периоду сигнала.
Рис.1.1
Периодические сигналы могут быть представлены рядом Фурье
[]
st
a
antbnt
nn
n
()cossin,=++
=
∞
∑
0
11
1
2
ωω (1.2)
где
ω
π
1
2
=
T - основная частота (первая гармоника),
a
T
stntdtb
T
stntdt
a
T
stdt
n
T
T
n
T
T
T
T
===
−−−
∫∫∫
22
2
1
1
2
2
1
2
2
0
2
2
()cos,()sin,().
/
/
/
/
/
/
ωω
(1.3)
Эквивалентное (1.2) представление сигнала рядом Фурье получим, вводя
обозначения aAbA
nnnnnn
=
=
cos,sin
θ
θ
, так что
()
Aabba
nnnnnn
=+=
22
,arctg.θ (1.4)
Тогда
st
A
Ant
nn
n
()cos(),=+−
=
∞
∑
0
1
1
2
ωθ
(1.5)
где
stAnt
n
n
n
()cos()
=
−
ω
θ
1
(1.6)
называют n-ой спектральной составляющей гармонического спектра сигнала.
Совокупности {,}ab
n
n
или {,}A
n
n
θ
называются спектрами периодических
сигналов. Принципиально, что для периодических сигналов спектры являются
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
28
1. Г А Р М О Н И Ч Е С К И Й С П Е К Т Р А Л Ь Н Ы Й А Н А Л И З
П Е РИ О Д И Ч Е С К И Х С И Г Н А Л О В
В рад и офи зи к е и рад и отехни к е к ол еб ани яи си гнал ы м огу т б ы ть оп и саны
од нознач ноне тол ьк офу нк ци ям и врем ени , нои фу нк ци ям и ч астоты (сп ек трам и ).
Частотак ое оп и сани е д ости гаетсяп у тем гарм они ч еск огосп ек трал ьногоанал и за.
Си гнал s (t ) явл яется п ери од и ч еск ой фу нк ци ей врем ени , есл и д л я него
сп равед л и воравенство
s(t ) = s(t + kT ), k = 0, ±1, ±2,... , (1.1)
гд е T - п ери од си гнал а. П ри м ер п ери од и ч еск огоси гнал а п ри вед ен на ри с.1.1, гд е
вел и ч и на τ оп ред ел яет д л и тел ьность и м п у л ьса п ери од и ч еск ого си гнал а на
и нтервал е, равном п ери од у си гнал а.
Ри с.1.1
П ери од и ч еск и е си гнал ы м огу т б ы ть п ред ставл ены ряд ом Ф у рье
∞
s(t ) = 0 + ∑ [ an cos nω1t + bn sin nω1t ] ,
a
(1.2)
2 n =1
гд е ω 1 = 2 π T - основнаяч астота (п ерваягарм они к а),
2 T /2 2 T /2 a0 1 T / 2
an = ∫ s(t )cos nω1tdt , bn = ∫ s(t )sin nω1tdt , = ∫ s (t )dt . (1.3)
T −T / 2 T −T / 2 2 T −T / 2
Э к ви вал ентное (1.2) п ред ставл ени е си гнал а ряд ом Ф у рье п ол у ч и м , ввод я
об означ ени яan = A n cos θ n , bn = A n sin θ n , так ч то
A n = an2 + bn2 , θ n = arctg( bn an ) . (1.4)
Т огд а
A ∞
s(t ) = 0 + ∑ A n cos( nω1t − θ n ) , (1.5)
2 n =1
гд е
s n (t ) = A n cos( nω1t − θ n ) (1.6)
назы вают n-ой сп ек трал ьной составл яющ ей гарм они ч еск огосп ек тра си гнал а.
Совок у п ности {an , bn } и л и {A n , θ n } назы ваютсясп ек трам и п ери од и ч еск и х
си гнал ов. П ри нци п и ал ьно, ч то д л я п ери од и ч еск и х си гнал ов сп ек тры явл яются
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
