ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29
дискретными (линейчатыми), т.е. значения спектральных составляющих отличны
от нуля только для дискретных значений частот , кратных основной частоте
ω
1
.
Для рядов (1.2) и (1.5) спектры можно представить в виде спектральных
диаграмм:
Если st() - четная функция, то для всех n: bAa
nnn
=
=
0,||. Если st() - нечетная
функция, то для всех n:
aAb
nnn
=
=
0,||
.
Средняя мощность периодического сигнала st(), выделяемая на
сопротивлении 1 Ом за период , есть
Ps
T
stdt
T
T
=
−
∫
1
2
2
2
().
/
/
(1.7)
В соответствии с формулой Парсеваля средняя мощность периодического сигнала
равна сумме средних мощностей спектральных составляющих сигнала:
Ps
A
A
n
n
=+
=
∞
∑
0
2
2
1
4
1
2
. (1.8)
Одной из важнейших характеристик сигнала
st()
является ширина его
спектра
∆Ω
. Ширина спектра
∆Ω
- это интервал частот от
ω
=
0
до
ω
=
∆Ω
, за
пределами которого спектральные составляющие спектра сигнала равны нулю. В
общем случае теоретическая ширина спектра сигнала
∆Ω
равна бесконечности .
На практике ширину спектра сигнала ограничивают, так что
∆Ω
является
конечной величиной . Часто
∆Ω
определяют как интервал частот , в пределах
которого расположены спектральные составляющие сигнала, суммарная средняя
мощность которых составляет
η
-ую долю (например,
η
=
0
9
.
или
η
=
0
95
.
и др.)
от полной средней мощности сигнала Ps (1.7). Таким образом ,
ηPs
A
A
n
n
M
=+
=
∑
0
2
2
1
4
1
2
, (1.9)
где M - число спектральных составляющих, расположенных в пределах ширины
спектра сигнала
∆Ω
. По найденному из уравнения (1.9) значению M ширина
спектра
∆Ω
определится как
∆Ω
=
=
MMT
ω
π
1
2/.
(1.10)
Точность представления периодического сигнала st() рядом Фурье при
конечном числе слагаемых M в сумме ряда (1.5) определяется величиной
среднеквадратической относительной ошибки
δ
:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
29
д и ск ретны м и (л и нейч аты м и ), т.е. знач ени ясп ек трал ьны х составл яющ и х отл и ч ны
от ну л ятол ьк о д л яд и ск ретны х знач ени й ч астот, к ратны х основной ч астоте ω1 .
Д л я ряд ов (1.2) и (1.5) сп ек тры м ожно п ред стави ть в ви д е сп ек трал ьны х
д и аграм м :
Е сл и s(t ) - ч етнаяфу нк ци я, тод л явсех n: bn = 0 , A n =| an | . Е сл и s(t ) - неч етная
фу нк ци я, тод л явсехn: an = 0 , A n =| bn | .
Сред няя м ощ ность п ери од и ч еск ого си гнал а s (t ), вы д ел яем ая на
соп роти вл ени и 1 О м за п ери од , есть
1 T / 22
Ps = ∫ s (t )dt . (1.7)
T −T / 2
В соответстви и с форм у л ой П арсевал ясред няям ощ ность п ери од и ч еск огоси гнал а
равна су м м е сред ни хм ощ ностей сп ек трал ьны х составл яющ и хси гнал а:
A 02 1 ∞ 2
Ps = + ∑ An . (1.8)
4 2 n =1
О д ной и з важнейш и х харак тери сти к си гнал а s (t ) явл яется ш и ри на его
сп ек тра ∆Ω . Ш и ри на сп ек тра ∆Ω - этои нтервал ч астот от ω = 0 д о ω = ∆Ω , за
п ред ел ам и к оторогосп ек трал ьны е составл яющ и е сп ек тра си гнал а равны ну л ю. В
об щ ем сл у ч ае теорети ч еск аяш и ри на сп ек тра си гнал а ∆Ω равна б еск онеч ности .
Н а п рак ти к е ш и ри ну сп ек тра си гнал а ограни ч и вают, так ч то ∆Ω явл яется
к онеч ной вел и ч и ной. Часто ∆Ω оп ред ел яют к ак и нтервал ч астот, в п ред ел ах
к оторого расп ол ожены сп ек трал ьны е составл яющ и е си гнал а, су м м арнаясред няя
м ощ ность к оторы х составл яет η -у ю д ол ю (нап ри м ер, η = 0.9 и л и η = 0.95 и д р.)
от п ол ной сред ней м ощ ности си гнал а Ps (1.7). Т ак и м об разом ,
A02 1 M 2
ηPs = + ∑ An , (1.9)
4 2 n=1
гд е M - ч и сл о сп ек трал ьны х составл яющ и х, расп ол оженны х вп ред ел ах ш и ри ны
сп ек тра си гнал а ∆Ω . П о найд енном у и з у равнени я (1.9) знач ени ю M ш и ри на
сп ек тра ∆Ω оп ред ел и тсяк ак
∆Ω = M ω1 = M 2π / T . (1.10)
Т оч ность п ред ставл ени я п ери од и ч еск ого си гнал а s(t ) ряд ом Ф у рье п ри
к онеч ном ч и сл е сл агаем ы х M в су м м е ряд а (1.5) оп ред ел яется вел и ч и ной
сред нек вад рати ч еск ой относи тел ьной ош и б к и δ :
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
