ВУЗ:
Составители:
120
усложняться во времени и в пространстве.
Еще один класс структур, имеющих важное практическое значение,
возникает при обтекании жидкостью или газом движущихся
объектов: автомашин, самолетов, космических кораблей и морских судов.
Характер движения жидкости в гидродинамике описывают с помощью
безразмерного параметра – числа Рейнольдса Re, введенного в 1883 г.
Рейнольдсом О. Параметр Re связан с режимом течения вязкой жидкости
или газа и характеризует соотношение между инерционными силами и
силами вязкости. Re = ρvl/µ, где ρ – плотность, v – скорость потока, l –
поперечный размер обтекаемого предмета, µ – коэффициент динамической
вязкости жидкости (или газа). Для каждой жидкости существует такое
критическое значение числа Рейнольдса, при превышении которого
течение жидкости из ламинарного превращается в турбулентное. Отсюда
напрашивается мысль об аналогии между ламинарным течением жидкости,
переходящем в турбулентное при увеличении Re, и термодинамической
ветвью (см. разд. 3.3.4), теряющей устойчивость. После каскада
бифуркаций в этой системе образуется ряд усложняющихся структур, а
затем происходит переход к хаосу. Представление о таком механизме
возникновения турбулентности было дано в работах Л.Д. Ландау, оно
основывалось на математической теории бифуркаций Е. Хопфа.
Вот некоторые выводы из теории бифуркаций Хопфа в системе
обыкновенных дифференциальных уравнений:
Первая бифуркация Хопфа приводит к тому, что из особой точки
рождается предельный цикл с частотой ω
1
.
В результате второй бифуркации Хопфа решение уравнений становится
похожим на спираль, которая наматывается на тор (тогда говорят о
появлении инвариантного тора). В таком решении можно выделить уже
две независимые частоты ω
1
и ω
2
. Если при этом отношение ω
1
/ω
2
является
иррациональным числом, то решение будет непериодическим и заполнит
всю поверхность тора.
После третьей бифуркации Хопфа появится инвариантный тор большей
размерности и решение с частотой ω
3
будет накручиваться на спираль,
образовавшуюся после предыдущей бифуркации.
Очевидно, что в математической модели число таких бифуркаций
принципиально не ограничено. Но решение становится очень сложным.
При малых значениях числа Re формируется стационарная картина
движения жидкости, соответствующая ламинарному течению (рис. 3.30а).
При небольшом нарушении равновесия путем создания, например,
градиента давления, жидкость начнет двигаться в сторону меньших
давлений, при этом ее движение ее будет происходить как бы слоями, па-
раллельными направлению течения (ламинарное течение). Потоки и
термодинамические силы связаны линейными соотношениями, про-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- …
- следующая ›
- последняя »
