Помехоустойчивые циклические коды. Никитин Г.И. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

6
по модулю 2 двух разрешённых кодовых комбинаций даёт также очередную разрешён-
ную кодовую комбинацию.
Описание ЦК связано с представлением кодовых комбинаций в виде полино-
мов (многочленов) фиктивной переменной "X". Для примера переведём кодовое слово
А
1
= 101100 в полиномиальный вид
i
654321
к о д 101100
При этом А
1
(X) = 1 · X
5
+ 0 · X
4
+ 1 · X
3
+ 1 · X
2
+ 0 · X
1
+ 0 · X
0
= X
5
+ X
3
+ X
2
.
Действия с кодовыми векторами, представленными в виде полиномов, произ-
водятся по правилам арифметики по модулю 2, в которой вычитание равносильно
сложению. Так, из равенства Х
n
-1 = 0 получаем Х
n
=1. Прибавив к левой и правой час-
тям по единице, имеем Х
n
+ 1 = 1 ⊕ 1= 0. Таким образом, вместо двучлена Х
n
-1 можно
ввести бином Х
n
+1 или 1 + Х
n
, из чего следует, что Х
k
⊕ Х
k
= Х
k
(1 ⊕ 1) = 0 и при по-
следующих операциях с полиномами необходимо вычёркивать пары фиктивных пе-
ременных X с одинаковыми степенями.
Приведём далее порядок суммирования (вычитания), умножения и деления по-
линомов с учётом того, что операция суммирования осуществляется по модулю 2. В
примерах используем вышеприведённые кодовые комбинации А
1
(X) = X
5
+ X
3
+ X
2
и
А
2
(X) = X
4
+ X
2
+ X.
Суммирование (вычитание):
А
1
+ А
2
= А
1
- А
2
= X
5
+ X
4
+ X
3
+ X
2
+ X
2
+ X = X
5
+
X
4
+ X
3
+ X
или А
1
101100
⊕
А
2
010110
_______
111010 = X
5
+
X
4
+ X
3
+ X.
Умножение:
А
1
× А
2
=
( X
5
+ X
3
+ X
2
) × ( X
4
+ X
2
+ X) = X
9
+
X
7
+ X
6
+ X
7
+
X
5
+
+
X
4
+ X
6
+
X
4
+ X
3
= X
9
+
X
5
+
X
3
= 1000101000.
Деление:
A
A
1
X
5
+
X
3
+ X
2
│
X
4
+ X
2
+ X
- │——————
X
5
+
X
3
+ X
2
X
——————
0 0 0 - остаток при делении R(X) = 0.
Из последнего примера следует, что при циклическом сдвиге вправо на один раз-
ряд необходимо исходную кодовую комбинацию поделить на X, а умножение на
X
экви-
валентно сдвигу влево на один символ.
На основании того, что будет сказано далее о ЦК, нельзя установить теоретиче-
ски те или иные свойства этих кодов, ряд приводимых ниже результатов придётся
принять без соответствующих доказательств на веру. Однако, рассмотрев приведённые
далее примеры, можно понять и освоить специфику и идеологию формирования и об-
работки ЦК.

Страницы