Составители:
Рубрика:
9
проверочных символов кода получается сразу "в целом" при делении информативной
кодовой группы на порождающий полином, а не "поэлементно", как это показано в
ЛР №3, когда последовательное суммирование по модулю 2 соответствующих ин-
формативных символов давало очередной символ проверочной группы. Отметим, что
два варианта порождающих полиномов кода Хемминга (7,4), с записью по модулю 2 в
виде 1101 и 1011, представляют собой так называемые двойственные многочлены (по-
линомы).
Двойственные многочлены определяются следующим образом: если задан по-
лином в виде
h(X) = h
0
+h
1
X + h
2
X
2
+ … + h
r
X
r
,
то двойственным к нему полиномом является
,h...XhXh)X(h
~
r
1rr
10
+++=
−
(4.9)
т. е. весовые коэффициенты исходного полинома, зачитываемые слева направо, стано-
вятся весовыми коэффициентами двойственного полинома при считывании их справа
налево. Говоря образно, набор весовых коэффициентов "вывёртывается наизнанку".
Обратим внимание на то, что в полных таблицах порождающих ЦК полиномов
двойственные полиномы, как правило, не приводятся [6].
Наряду с тем, что порождающие полиномы кода Хемминга (7,4) являются двой-
ственными друг другу, они также являются неприводимыми.
Неприводимые полиномы не делятся ни на какой другой полином степени меньше
r, поэтому их называют ещё неразложимыми, простыми и примитивными.
Далее в табл. 1 при значениях r = 4 и 5 попадают следующие классические ко-
ды Хемминга (15, 11) и (31, 26). Порождающие их полиномы также являются двойст-
венными друг к другу и неприводимыми. Напомним, что к классическим кодам Хемминга
относятся коды, у которых n = 2
r
- 1, a k = 2
r
-1- r [3], с минимальным кодовым расстоя-
нием d
min
= 3, позволяющим исправлять однократные ошибки и обнаруживать двойные.
При значениях r = 4 в табл. 1 попадают двойственные порождающие многочлены
кода Абрамсона (7, 3), являющиеся частным случаем кодов Файра, порождающие поли-
номы для которых имеют вид
G(X) = p(X) · (X
c
+ 1), (4.10)
где р(Х) - неприводимый полином.
Коды Абрамсона совпадают с кодами Файра, если положить с = 1. Число прове-
рочных символов r = 4 определяет общее число символов в коде (значность кода), по-
скольку для этих кодов n = 2
r-1
- 1. Эти коды исправляют все одиночные и смежные
двойные ошибки (т.е. серии длиной 2). Помещённые в табл. 1 коды Абрамсона (7,3) яв-
ляются первыми циклическими кодами, исправляющими серийные ошибки (пакеты
ошибок). В этом применении ЦК оказываются особенно эффективными. Обратим
внимание на то, что при с =1 в (4.10) порождающими полиномами р(X) являются двой-
ственные полиномы X
3
+ X
2
+ 1 и X
3
+ X+ 1, образующие код Хемминга (7, 4) при r = 3.
Серийные ошибки возникают в результате воздействия в канале передачи сооб-
щений помех импульсного характера, длительность которых больше длительности од-
ного символа. При этих условиях ошибки уже не независимы, а возникают пачками, об-
щая длительность которых соответствует длительности помехи.
В заключение на основании данных табл. 1 приведём все возможные порождаю-
щие полиномы для кодовых комбинаций с числом символов n = 7.
В соответствии со свойством (4.3) порождающих полиномов G(X) бином X
7
+1 рас-
кладывается на три неприводимых полинома
X
7
+ 1 = (X + 1)·(X
3
+ X
2
+ 1)·(X
3
+ X+ 1) = G
1
(X) × G
2
(X) × G
3
(X), (4.11)
каждый из которых является порождающим для следующих кодов:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
