Помехоустойчивые циклические коды. Никитин Г.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

10
G
1
(X) =
Х
+ 1
- код с проверкой на чётность, КПЧ (7, 6);
G
2
(X) = X
3
+ X
2
+ 1 - первый вариант кода Хемминга (7,4);
G
3
(X) = X
3
+ X+ 1 - двойственный G
~
2
(X), второй вариант кода Хемминга.
Кроме того, различные вариации произведений G
1
,
2
,
3
(X) дают возможность полу-
чить остальные порождающие полиномы:
G
4
(X) = G
1
(X)·G
2
(X) = (X + 1)·(X
3
+ X
2
+ 1) = X
4
+ X
2
+ X +1 -
код Абрамсона (7,3);
G
5
(X) = G
1
(X)·G
3
(X) = (X + 1)·(X
3
+ X+ 1) = X
4
+ X
3
+ X
2
+1 -
двойственный G
4
(X);
G
6
(X) = G
2
(X)·G
3
(X) = (X
3
+ X
2
+ 1)·(X
3
+ X+ 1) =
= X
6
+ X
5
+X
4
+ X
3
+ X
2
+ X +1 - код с повторением (7,1).
Таким образом, для постоянного заданного значения n все возможные порож-
дающие полиномы ЦК размещаются между кодами с проверкой на чётность (n, n-1)
(r =1) и кодами с повторением (n, 1) (r = n -1), которые правомерно и называют "кодами
антиподами".
При выборе применяемых в системах связи корректирующих кодов необходимо
позаботиться о том, чтобы, во-первых, избыточность кода была минимальной, т. е. от-
носительная скорость кода или эффективность кода была максимальной, а, во-
вторых, техника кодирования и декодирования была по возможности проста.
1.4. Принципы формирования и обработки разрешённых
кодовых комбинаций циклических кодов
На основании материалов предыдущего раздела можно дать следующее опреде-
ление циклических кодов.
Циклические коды (ЦК) составляют множество многочленов Вi(Х) степени n -1 и
менее (до r = n - k, где r - число проверочных символов), кратных порождающему (обра-
зующему) полиному G(Х) степени r, который, в свою очередь, должен быть делителем
бинома X
n
+ 1, т. е. остаток после деления бинома на G(X) должен равняться нулю.
Учитывая,что ЦК принадлежат к классу линейных, групповых кодов, сформулиру-
ем ряд основных свойств, им присущих.
1. Сумма разрешённых кодовых комбинаций ЦК образует разрешённую кодовую
комбинацию
B
i
(X) ⊕ B
j
(X) = B
k
(X). (4.12)
2. Поскольку к числу разрешённых кодовых комбинаций ЦК относится нулевая
комбинация 000...00, то минимальное кодовое расстояние d
min
для ЦК определяется ми-
нимальным весом разрешённой кодовой комбинации:
D
min
= W
min
. (4.13)
3. Циклический код не обнаруживает только такие искажённые помехами кодо-
вые комбинации, которые приводят к появлению на стороне приёма других разрешённых
комбинаций этого кода из набора Ν
0
.
4. Значения проверочных элементов r = n - k для ЦК могут определяться путём
суммирования по модулю 2 ряда определённых информационных символов кодовой
комбинации А
i
(Х). Например, для кода Хемминга (7,4) с порождающим полиномом
G(X)=X
3
+Х+1 алгоритм получения проверочных символов будет следующим [3]:
r
1
= i
1
⊕ i
2
⊕ i
3
;
r
2
= i
2
⊕ i
3
⊕ i
4
; (4.14)
r
3
= i
1
⊕ i
2
⊕ i
4
;
Эта процедура свидетельствует о возможности "поэлементного" получения прове-
рочной группы для каждой кодовой комбинации А
i
(Х). В соответствии с (4.14) могут стро-
иться кодирующие устройства для ЦК [3].

Страницы