Автоматизированное проектирование. Норенков И.П. - 106 стр.

 5@!"! 4                           %!#*%!#&F*:,$*    $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M

где Λ = (λ1, λ2, λ3 ...λh) — вектор множителей Лагранжа, L — число ограничений.
     Необходимые условия экстремума функции Ф(N):
                                   L
         ∂Ф(N,Λ)/∂N = ∂F(X)/∂N + ∑ λi ∂ψi (X)/∂X = 0;
                                   i=W                                                (4.20)
          ∂Ф(N,Λ)/∂Λ = ψ (X) = 0.
      Система (4.20) содержит n+L алгебраических уравнений, где n — размерность пространства уп-
равляемых параметров, ее решение дает искомые координаты экстремальной точки и значения мно-
жителей Лагранжа. Однако при численном решении (4.20), что имеет место при использовании алго-
ритмических моделей, возникают те же трудности, что и в методе Ньютона. Поэтому в САПР основ-
ными методами решения ЗМП являются методы штрафных функций и проекции градиента.
      Основная идея /$&#-#( >&")E*., E7*%='; — преобразование задачи условной оптимизации
в задачу безусловной оптимизации путем формирования новой целевой функции Ф(N) введением в
исходную целевую функцию F(X) специальным образом выбранной функции штрафа S(X):
          Ф(N) = F(X) + rS(X),
где r — множитель, значения которого можно изменять в процессе оптимизации.
      Среди методов штрафных функций различают методы внутренней и внешней точки. Согласно
методам внутренней точки ( иначе называемым методами 2)"5$"*., E7*%=';) исходную для поиска
точку можно выбирать только внутри допустимой области, а для методов внешней точки как внутри,
так и вне допустимой области (важно лишь, чтобы в ней функции целевая и ограничений были бы оп-
ределены). Ситуация появления барьера у целевой функции Ф(,) и соотношение между условным в
точке x2 и безусловным в точке x1 минимумами F(,) в простейшем одномерном случае иллюстрирует-
ся рис. 4.10.
      Примеры штрафных функций:
      1) для метода внутренней точки при ограничениях ϕi(X)> 0
                m
         S(X) = ∑ (1/ ϕi(X)),
                i=W
где m — число ограничений типа неравенств;
     2) для метода внешней точки при таких же ограничениях
                m
         S(X) = ∑ (min{0, ϕi(X)})2 —                             %+,. 4.)0. Пояснение метода штрафных
                i=W                                                             функций
здесь штраф сводится к включению в Ф(N) суммы квадратов ак-
тивных (т.е. нарушенных) ограничений;
     3) в случае ограничений типа равенств ψi(X) = 0
                L
         S(X) = ∑ (ψi(X))2.
                i=W
      Чем больше коэффициент r, тем точнее решение задачи, однако при больших r может ухудшать-
ся ее обусловленность. Поэтому в начале поиска обычно выбирают умеренные значения r, увеличи-
вая их в окрестностях экстремума.
      Основной вариант /$&#-) 0"#$%='' 8")-'$*&) ориентирован на задачи математического про-
граммирования c ограничениями типа равенств.
      Поиск при выполнении ограничений осуществляется в подпространстве (n-m) измерений, где n
— число управляемых параметров, m — число ограничений, при этом движение осуществляется в на-
правлении проекции градиента целевой функции F(X) на гиперплоскость, касательную к гиперпо-
верхности ограничений (точнее к гиперповерхности пересечения гиперповерхностей ограничений).
      Поиск минимума начинают со спуска из исходной точки на гиперповерхность ограничений. Да-
лее выполняют шаг в указанном выше направлении (шаг вдоль гиперповерхности ограничений). По-
скольку этот шаг может привести к заметному нарушению ограничений, вновь повторяют спуск на ги-

 &.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*        +($*,#&($"!)&*                                     106