Автоматизированное проектирование. Норенков И.П. - 107 стр.

 5@!"! 4                             %!#*%!#&F*:,$*    $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M

перповерхность ограничений и т.д. Другими сло-
вами, поиск заключается в выполнении пар ша-
гов, каждая пара включает спуск на гиперповерх-
ность ограничений и движение вдоль гиперпо-
верхности ограничений.
      Идею метода легко пояснить для случая по-
иска в двумерном пространстве при одном огра-
ничении ψ(X) = 0. На рис. 4.11 это ограничение
представлено жирной линией, а целевая функция
— совокупностью более тонких линий равного
уровня. Спуск обычно осуществляют по нормали
к гиперповерхности ограничений (в данном слу-
чае к линии ограничения). Условие окончания
поиска основано на сопоставлении значений це-
                                                 %+,. 4.)). Траектория поиска в соответствии с методом
левой функции в двух последовательных точках, проекции градиента: Q - условный экстремум; 0, ), 2, 3 -
получаемых после спуска на гиперповерхность                    точки на траектории поиска
ограничений.
      Рассмотрим вопрос, касающийся получения аналитических выражений для направлений спуска
и движения вдоль гиперповерхности ограничений.
      :07+%. Необходимо из текущей точки поиска ( попасть в точку C, являющуюся ближайшей к (
точкой на гиперповерхности ограничений, т.е. решить задачу
          min |B-A|
при условии ψ(X)=0, которое после линеаризации в окрестностях точки ( имеет вид
          ψ(B) + (grad ψ(B))T(A-B) = 0.
      Используя метод множителей Лагранжа, обозначая C-(=U и учитывая, что минимизация рассто-
яния равнозначна минимизации скалярного произведения U на U, запишем
          Ф(C) = UTU + λ (ψ(B)+(grad ψ(B)) TU);
         ∂Ф/∂C = 2U + λ (grad ψ(B)) = 0;                                                   (4.21)
          ∂Ф/∂λ= ψ(B) + (grad ψ(B))TU = 0.                                           (4.22)
Тогда из (4.21) получаем выражение
          U = - 0,5λ (grad ψ(B)),
подставляя его в (4.22), имеем
          ψ(B) - 0,5λ (grad ψ(B))T grad ψ(B)= 0;
откуда
          λ = (0,5(grad ψ(B))T grad ψ(B))-1ψ(B).
и окончательно, подставляя λ в (4.21), находим
          U = - grad ψ(B)(grad ψ(B))T grad ψ(B))-1 ψ(B).
      N('@$*'$ (-#45 8'0$"0#($",*#+&' #8")*'1$*';. Шаг в гиперплоскости D, касательной к гипер-
поверхности ограничений, следует сделать в направлении вектора S, на котором целевая функция
уменьшается в наибольшей мере при заданном шаге h. Уменьшение целевой функции при переходе
из точки C в новую точку * подсчитывают, используя формулу линеаризации F(X) в окрестностях
точки C:
          F(C) - F(A) = h(grad F(A))TS,
где grad F(A)TS — приращение F(X), которое нужно минимизировать, варьируя направления S
          min F(C) = min ((grad F(A))TS),                                            (4.23)
где вариация S осуществляется в пределах гиперплоскости D; gradψ(A) и S — ортогональные векто-


 &.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*          +($*,#&($"!)&*                                    107