Автоматизированное проектирование. Норенков И.П. - 71 стр.

 5@!"! 3                                     %!#*%!#&F*:,$*         $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M

верхней части рисунка показана аппроксимация производной ∂V/∂x в точке k, и указанным шаблонам при их просмотре
слева направо соответствуют аппроксимации
           h(∂V/∂x) = Vk+1 - Vk; 2h(∂V/∂x) = Vk+1 - Vk-1; h2(∂2V/∂x2) = Vk+1 - 2Vk + Vk-1,
где h — шаг дискретизации по оси ,.
      Шаблоны для двумерных задач в нижней части рис. 3.11 соответствуют следующим конечно-разностным операторам:
левый рисунок -
           h2∇2V = :2(∂2V/∂x12 + ∂2V/∂x22) = Vk+1,j + Vk-1,j + Vk,j+1 + Vk,j-1 - 4Vk,j,
средний рисунок -
           2h2∇2V = Vk+1,j+1 + Vk-1,j+1 + Vk+1,j-1 + Vk-1,j-1 - 4Vk,j,
правый рисунок -
           4h2∂2V/∂x1∂x2 = Vk+1,j+1 - Vk-1,j+1 - Vk+1,j-1 + Vk-1,j-1.
Здесь Vk,j — значение V в точке (x1k,x2j); приняты оди-
наковые значения шагов h по обеим координатам.
     L$&#- %#*$1*., B4$/$*&#( основан
на аппроксимации не производных, а самого
решения V(z). Но поскольку оно неизвестно,
то аппроксимация выполняется выражения-
ми с неопределенными коэффициентами qi
          U(z) = QТϕ(z),              (3.34)
где QТ = (q1, q2,...qn)Т- вектор-строка неопре- %+,. 3.)). Примеры шаблонов для метода конечных разностей
деленных коэффициентов, ϕ(z) — вектор-столбец %##"-'*)&*., (иначе опорных) функций, заданных
так, что удовлетворяются граничные условия.
      При этом речь идет об аппроксимациях решения в пределах конечных элементов, а с учетом их
малых размеров можно говорить об использовании сравнительно простых аппроксимирующих выра-
жений U(z) (например, ϕ(z) — полиномы низких степеней). В результате подстановки U(z) в исходное
дифференциальное уравнение и выполнения операций дифференцирования получаем систему невязок
          ∆(z, Q) = LU(z) - f(z) = L(QТϕ(z)) - f(z),                                            (3.35)
из которой требуется найти вектор Q.
      Эту задачу (определение Q) решают одним из следующих методов:
      1) /$&#- %#44#%)=';, в котором, используя (3.35), формируют n уравнений с неизвестным век-
тором Q:
          L(QТϕ(zi)) - f(zi) = 0, i = 1, 2,...n,
где n — число неопределенных коэффициентов;
      2) /$&#- *)'/$*5>', %()-")&#(, основанный на минимизации квадратов невязок (3.35) в n точ-
ках или в среднем по рассматриваемой области;
      3) /$&#- V)4$"%'*), с помощью которого минимизируются в среднем по области невязки со
специально задаваемыми весовыми коэффициентами.
      Наибольшее распространение МКЭ получил в САПР машиностроения для анализа прочности
объектов. Для этой задачи можно использовать рассмотренный подход, т.е. выполнить алгебраизацию
исходного уравнения упругости (уравнения Ламе). Однако более удобным в реализации МКЭ оказал-
ся подход, основанный на вариационных принципах механики.
      E'Q 9 384@8://:6 :0:D+?: /.6:0+A.,742 384A04,-+. В качестве исходного положения при-
нимают вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии), в соответствии с кото-
рым равновесное состояние, в которое может прийти система, характеризуется минимумом потенци-
альной энергии.
      Потенциальная энергия П определяется как разность энергии Э деформации тела и работы А
массовых и приложенных поверхностных сил.
      В свою очередь


 &.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*                    +($*,#&($"!)&*                                       71