Автоматизированное проектирование. Норенков И.П. - 72 стр.

 5@!"! 3                                    %!#*%!#&F*:,$*   $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M



           Э = 0,5   ∫ ε σ dR,
                         T                                                                            (3.36)
                     R
где εT = (ε11, ε22, ε33, ε12, ε13, ε23)T — вектор-строка деформаций, σ = (σ11, σ22, σ33, σ12, σ13, σ23) — век-
тор-столбец напряжений, R — рассматриваемая область. Деформации εij можно выразить через пере-
мещения
          εij = 0,5(∂Wi /∂xj +∂Wj /∂xi),                                                            (3.37)
где Wi — перемещение вдоль оси ,i, или в матричной форме
         ε = 0,5 SW,                                                              (3.38)
где S — очевидный из (3.37) оператор дифференцирования.
      Деформации и напряжения связаны между собой с помощью матрицы D, характеризующей уп-
ругие свойства среды, которая представлена в табл. 3.5:
         σ = Dε.                                                                  (3.39)
Коэффициенты λ и µ, фигурирующие в таблице, называют постоянными Ламе, они выражают упру-
гие свойства материала детали.                                                    M:BD+=: 3.5
      Подставляя (3.39) и (3.38) в (3.36), получаем
                                                        λ+2µ λ     0       0     0     0
                     ∫
         Э = 0,5 W S DSW dR,
                     T  T
                                                        λ    λ+2µ λ        0     0     0
                 R
      Решением задачи должно быть поле перемеще-     0      λ                        λ+2µ     0      0     0
ний W(X), где X = (x1, x2, x3). В соответствии с МКЭ
это решение аппроксимируется с помощью функций       0      0                        0        2µ     0     0
(3.34), которые применительно к совокупности конеч-  0      0                        0        0      2µ    0
ных элементов представим в матричной форме:
          U(X) = NQ,                                 0      0                        0        0      0     2µ
где N — матрица координатных функций, Q — вектор
неопределенных коэффициентов. Заменяя W(X) на U(X), получаем
           Э = 0,5   ∫Q    T NТ ST DSN                 ∫
                                         Q dR = 0,5 QT( (SN)Т DSN dR) Q = 0,5 QT K Q,                 (3.40)
                     R                                 R
где K =   ∫ (SN)   M DSN     dR — матрица жесткости.
          R
     В соответствии с принципом потенциальной энергии в состоянии равновесия имеем
         ∂П/∂Q = ∂Э/∂Q - ∂А/∂Q = 0
или, дифференцируя (3.40), находим
           KQ = B,                                                                                    (3.41)
где B = ∂А/∂Q — вектор нагрузок. Таким образом, задача анализа прочности, согласно МКЭ, сведена
к решению системы линейных алгебраических уравнений (3.41).
     Матрица жесткости также оказывается сильно разреженной, поэтому для решения (3.41) приме-
няют методы разреженных матриц.
      + - 0 B .F 6 9 0 . . Одним из широко известных методов разреженных матриц является метод прогонки, применяе-
мый в случае трехдиагональных матриц коэффициентов в системе алгебраических уравнений.
      *-8<7-<8: 384@8:// :0:D+?: 34 E'Q 0: /+784<8490.. Основными частями программы ана-
лиза по МКЭ являются библиотеки конечных элементов, препроцессор, решатель и постпроцессор.
      C'24'#&$%' %#*$1*., B4$/$*&#( (КЭ) содержат модели КЭ — их матрицы жесткости. Очевид-
но, что модели КЭ будут различными для разных задач (анализ упругих или пластических деформа-
ций, моделирование полей температур, электрических потенциалов и т.п.), разных форм КЭ (напри-
мер, в двумерном случае — треугольные или четырехугольные элементы), разных наборов координат-
ных функций.
      Исходные данные для 0"$0"#=$++#") — геометрическая модель объекта, чаще всего получаемая

 &.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*                 +($*,#&($"!)&*                                          72