Автоматизированное проектирование. Норенков И.П. - 70 стр.

 5@!"! 3                                    %!#*%!#&F*:,$*      $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M

деленными параметрами. В качестве независимых переменных в моделях могут фигурировать прост-
ранственные переменные x1, x2, x3 и время t.
     Характерными примерами моделей могут служить уравнения математической физики вместе с
заданными краевыми условиями.
      Например:
      1) уравнение теплопроводности
          C ρ ∂T / ∂t = div (λ grad T) + g,
где : — удельная теплоемкость, ρ — плотность, ? — температура, t — время, λ — коэффициент теплопроводности, g —
количество теплоты, выделяемой в единицу времени в единице объема;
      2) уравнение диффузии
          ∂N / ∂t = div (D grad N) ,
где N — концентрация частиц, D — коэффициент диффузии;
      3) уравнения непрерывности, используемые в физике полупроводниковых приборов:
для дырок
          ∂" / ∂t = - (1/q) div Jp + gp ,
для электронов
          ∂n / ∂t = (1/q) div Jn + gn ,
и уравнение Пуассона
          div E = ρ / (ε ε0),
       Здесь p и n — концентрации дырок и электронов; q — заряд электрона; Jp и Jn — плотности дырочного и электронно-
го токов; gp и gn — скорости процессов генерации-рекомбинации дырок и электронов; & — напряженность электрического
поля;, ρ — плотность электрического заряда; ε и ε0 — диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая постоянная.
      Краевые условия включают начальные условия, характеризующие пространственное распреде-
ление зависимых переменных в начальный момент времени, и граничные, задающие значения этих
переменных на границах рассматриваемой области в функции времени.
      E.-451 :0:D+?: 0: /+784<8490.. В САПР решение дифференциальных или интегро-диффе-
ренциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти методы
основаны на дискретизации независимых переменных — их представлении конечным множеством
значений в выбранных узловых точках исследуемого пространства. Эти точки рассматриваются как
узлы некоторой сетки, поэтому используемые в САПР методы — это +$
*.$ методы.
      Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два метода: метод конечных
разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Обычно выполняют дискретизацию простран-
ственных независимых переменных, т.е. используют пространственную сетку. В этом случае резуль-
татом дискретизации является система обыкновенных дифференциальных уравнений для задачи не-
стационарной или система алгебраических уравнений для стационарной.
      Пусть необходимо решить уравнение
         LV(z) = f(z)
с заданными краевыми условиями
         MV(z) = ψ(z),
где L и M — дифференциальные операторы, V(z) — фазовая переменная, z = (x1, x2, x3, t) — вектор не-
зависимых переменных, f(z) и ψ(z) — заданные функции независимых переменных.
      В /$&#-$ %#*$1*., ")6*#+&$; алгебраизация производных по пространственным координатам
базируется на аппроксимации производных конечно-разностными выражениями. При использовании
метода нужно выбрать шаги сетки по каждой координате и вид шаблона. Под шаблоном понимают
множество узловых точек, значения переменных в которых используются для аппроксимации произ-
водной в одной конкретной точке.
       Примеры шаблонов для одномерных и двумерных задач приведены на рис. 3.11. На этом рисунке кружком больше-
го диаметра обозначены узлы, в которых аппроксимируется производная. Черными точками обозначены узлы, значения
фазовой переменной в которых входят в аппроксимирующее выражение. Число, записанное около узла, равно коэффици-
енту, с которым значение фазовой переменной входит в аппроксимирующее выражение. Так, для одномерных шаблонов в

 &.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*                 +($*,#&($"!)&*                                              70