Автоматизированное проектирование. Норенков И.П. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

%!#*%!#&F*:,$* $I*:+*
F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M
5@!"! 3
P
ji
(t
1
)P
j
(t) есть безусловная вероятность перехода из S
j
в S
i
, равная условной вероятности перехода, ум-
ноженной на вероятность условия; J и K — множества индексов инцидентных вершин по отношению
к вершине S
i
по входящим и исходящим дугам на графе состояний соответственно.
Разделив выражение (3.45) на t
1
и перейдя к пределу при t→0, получим
lim P
i
(t)/t
1
=
∑
(lim P
ji
/t
1
)P
j
-
∑
(lim P
ik
/t
1
)P
i
,
t→0 jt→0 k t→0
откуда следуют уравнения Колмогорова
dP
i
/dt =
∑
(V
ji
P
j
) - P
i
∑
V
ik
.
j k
В стационарном состоянии dP
i
/dt = 0 и уравнения Колмогорова составляют систему алгебраиче-
ских уравнений, в которой i-й узел представлен уравнением
∑
(V
ji
P
j
) = P
i
∑
V
ik
. (3.46)
j k
Прибавляя V
ii
P
i
к левой и правой частям уравнения (3.46) и учитывая (3.44), получаем
N N
∑
(V
ji
P
j
) = P
i
∑
V
ik
=0,
j=1 k=1
т.е.
N
∑
(V
ji
P
j
) = 0,
j=1
где P
j
— финальные вероятности.
"8+/.8 :0:
D+-+A.,742 /45.D+. Примером СМО, к которой можно применить аналитические
методы исследования, является однокана льная СМО с простейшим входным потоком интенсивнос-
тью λ и длительностью обслуживания, подчиняющейся экспоненциальному закону обслуживания ин-
тенсивностью µ. Для этой СМО нужно получить аналитические зависимости среднего числа N
av
за-
явок, находящихся в системе, среднюю длину Q
av
очереди к ОА, время ?
av
пребывания заявки в сис-
теме, время ?
or
ожидания в очереди.
На рис. 3.18 представлен граф состояний рассматриваемой СМО, где S
k
— состояние с k заявками в
системе. Матрица интенсивностей представлена в табл. 3.10. Уравнения Колмогорова для устано-
вившегося режима имеют вид
λP
0
+ µP
1
= 0,
λP
0
- (l+µ)P
1
+ µP
2
= 0,
µP
1
- (l+µ)P
2
+ λP
3
= 0,
µP
2
- (l+µ)P
3
+ λP
4
= 0,
.....
Используя уравнения Колмогорова, можно выразить все P
W
, i = 1,2,3..., через P
0
. Получим
P
1
= λP
0
/µ = aP
0
,
P
2
= ((l+µ)P
1
- λP
0
) / µ = (1+a)P
1
- aP
0
= a
2
P
0
;
P
3
= (1+a)P
2
- aP
1
= a
2
P
1
= a
3
P
0
и т.д.
Здесь введено обозначение ) = λ/µ. Отметим также, что установившийся режим возможен только при
) < 1.
&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&*
80
Состояние S
0
S
1
S
2
S
3
S
4
...
S
0
-λ
λ
000...
S
1
µ
-λ-µ
λ
0 0 ...
S
2
0
µ
-λ-µ
λ
0 ...
S
3
00
µ
-λ-µ
λ
...
S
4
00 0
µ
-λ-µ
...
... ... ... ... ... ... ...
M:BD+=: 3.)0
%+,.3.)8. Граф состояний
  5@!"! 3                                 %!#*%!#&F*:,$*         $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M

Pji(t1)Pj(t) есть безусловная вероятность перехода из Sj в Si, равная условной вероятности перехода, ум-
ноженной на вероятность условия; J и K — множества индексов инцидентных вершин по отношению
к вершине Si по входящим и исходящим дугам на графе состояний соответственно.
       Разделив выражение (3.45) на t1 и перейдя к пределу при t→0, получим
           lim Pi(t)/t1 = ∑ (lim Pji/t1)Pj - ∑ (lim Pik/t1)Pi,
           t→0            j t→0              k   t→0
откуда следуют уравнения Колмогорова
           dPi/dt =∑ (Vji Pj ) - Pi ∑ Vik.
                    j               k
     В стационарном состоянии dPi/dt = 0 и уравнения Колмогорова составляют систему алгебраиче-
ских уравнений, в которой i-й узел представлен уравнением
           ∑ (VjiPj ) = Pi ∑ Vik.                                                                    (3.46)
            j               k
       Прибавляя ViiPi к левой и правой частям уравнения (3.46) и учитывая (3.44), получаем
            N              N
           ∑ (VjiPj ) = Pi ∑ Vik =0,
           j=1             k=1
т.е.
            N
         ∑ (VjiPj ) = 0,
         j=1
где Pj — финальные вероятности.
      "8+/.8 :0:D+-+A.,742 /45.D+. Примером СМО, к которой можно применить аналитические
методы исследования, является одноканальная СМО с простейшим входным потоком интенсивнос-
тью λ и длительностью обслуживания, подчиняющейся экспоненциальному закону обслуживания ин-
тенсивностью µ. Для этой СМО нужно получить аналитические зависимости среднего числа Nav за-
явок, находящихся в системе, среднюю длину Qav очереди к ОА, время ?av пребывания заявки в сис-
теме, время ?or ожидания в очереди.
На рис. 3.18 представлен граф состояний рассматриваемой СМО, где Sk — состояние с k заявками в
системе. Матрица интенсивностей представлена в табл. 3.10. Уравнения Колмогорова для устано-
вившегося режима имеют вид
                                                                                   M:BD+=: 3.)0
         λP0 + µP1 = 0,
                                          Состояние      S0     S1    S2    S3      S4    ...
         λP0 - (l+µ)P1 + µP2 = 0,
         µP1 - (l+µ)P2 + λP3 = 0,              S0        -λ     λ      0     0      0     ...
         µP2 - (l+µ)P3 + λP4 = 0,              S1         µ    -λ-µ    λ     0      0     ...
         .....
                                               S2         0     µ    -λ-µ    λ      0     ...
                                                         S3          0     0     µ     -λ-µ    λ          ...
                                                         S4          0     0     0      µ     -λ-µ        ...
         %+,.3.)8. Граф состояний
                                                         ...         ...   ...   ...    ...    ...        ...

       Используя уравнения Колмогорова, можно выразить все PW, i = 1,2,3..., через P0. Получим
          P1 = λP0/µ = aP0,
          P2 = ((l+µ)P1 - λP0) / µ = (1+a)P1 - aP0 = a2P0;
          P3 = (1+a)P2 - aP1 = a 2P1 = a3P0 и т.д.
Здесь введено обозначение ) = λ/µ. Отметим также, что установившийся режим возможен только при
) < 1.

 &.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*                +($*,#&($"!)&*                                          80

Страницы