Механика материальной точки. Новиков С.М. - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Основные теоретические сведения
Положение материальной точки (МТ) в пространственной системе отсчета
задается ее радиус-вектором
{, ,}
aaaa
rxyz
=
r
— вектором, проведенным из на-
чала координат в данную точку а
(рис. 1.1).
При движении МТ ее радиус-вектор
меняется. Функция, выражающая измене-
ние радиус-вектора во времени, называется
законом или уравнением движения. Закон
движения можно записать как в векторной,
так и в координатной форме
(),
() или (),
().
x
xt
rrt yyt
zzt
=
⎧
⎪
==
⎨
⎪
=
⎩
rr
(1.1)
Знание закона движения МТ позволяет
получить всю информацию о ее движении.
В частности, скорость V
r
и ускорение a
r
МТ определяются формулами
и .
dr dV
Va
dt dt
=
=
r
r
r
r
(1.2)
Соответственно для проекций скорости и ускорения справедливы формулы
,,,(1.3)
, , . (1.4)
xyz
y
x
z
xyz
dx dy dz
VVV
dt dt dt
dV
dV
dV
aaa
dt dt dt
===
===
Зная закон движения, можно определить
вектор перемещения Δr
r
, прой-
денный путь S, радиус кривизны траектории и другие дополнительные характе-
ристики движения. Задачи, в которых по известному закону движения путем
его дифференцирования определяются скорость, ускорение и другие дополни-
тельные кинематические характеристики движения, называются прямыми зада-
чами кинематики. Соответственно задачи, в которых по известным дополни-
тельным характеристикам движения “восстанавливается” закон
движения, на-
зываются обратными задачами кинематики. Обратные задачи значительно
труднее прямых. В простейших случаях они сводятся к интегрированию диф-
ференциальных уравнений (1.3)
и (1.4) методом разделения переменных. На-
пример, если задана зависимость проекции ускорения от времени a
x
(t), то урав-
нение (1.4)
можно записать в виде dV
x
= a
x
(t)
.
dt. Интегрируя левую и правую
части этого выражения, получаем формулу
x
a
r
r
z
а
y
а
x
а
z
a
Рис 1.1. 
              1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

                  Основные теоретические сведения

     Положение материальной точки (МТ) в пространственной системе отсчета
                              r
задается ее радиус-вектором ra = {xa , ya , za } — вектором, проведенным из на-
чала координат в данную точку а (рис. 1.1).
                                         При движении МТ ее радиус-вектор
          y                         меняется. Функция, выражающая измене-
                                    ние радиус-вектора во времени, называется
                                    законом или уравнением движения. Закон
                          a         движения можно записать как в векторной,
       yа             r
                      ra            так и в координатной форме
       zа                                                  ⎧ x = x(t ),
                                          r r              ⎪
                                x         r = r (t ) или ⎨ y = y (t ),   (1.1)
                   xа
                                                           ⎪ z = z (t ).
   z                                                       ⎩
                                         Знание закона движения МТ позволяет
          Рис 1.1.
                         r          получить всю информацию о ее движении.
                                      r
В частности, скорость V и ускорение a МТ определяются формулами
                                   r                r
                                  dr r            dV r
                                     =V и             = a.                   (1.2)
                                  dt               dt
    Соответственно для проекций скорости и ускорения справедливы формулы
                                      dx            dy           dz
                                         = Vx ,        = Vy ,        = Vz ,    (1.3)
                                      dt            dt           dt
                                     dVx           dVy           dVz
                                          = ax ,        = ay ,        = az .   (1.4)
                                      dt            dt            dt
                                                                    r
     Зная закон движения, можно определить вектор перемещения Δr , прой-
денный путь S, радиус кривизны траектории и другие дополнительные характе-
ристики движения. Задачи, в которых по известному закону движения путем
его дифференцирования определяются скорость, ускорение и другие дополни-
тельные кинематические характеристики движения, называются прямыми зада-
чами кинематики. Соответственно задачи, в которых по известным дополни-
тельным характеристикам движения “восстанавливается” закон движения, на-
зываются обратными задачами кинематики. Обратные задачи значительно
труднее прямых. В простейших случаях они сводятся к интегрированию диф-
ференциальных уравнений (1.3) и (1.4) методом разделения переменных. На-
пример, если задана зависимость проекции ускорения от времени ax(t), то урав-
нение (1.4) можно записать в виде dVx = ax(t).dt. Интегрируя левую и правую
части этого выражения, получаем формулу

Страницы