Нелинейное программирование. Нурминский Е.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Умножив это равенство слева на произвольное , получим
На вопрос о существовании сопряженных векторов можно дать констр-
уктивный ответ, указав процедуру построения нормированой сопряженной
системы. Такая система может быть построена, взяв за начальный матер-
иал некоторую линейно независимую систему и применив к ней алгоритм,
аналогичный процедуре ортогонализации Грамма-Шмидта.
Процедура построения сопряженной системы Пусть —
линейно независимы. Положим . Очевидно, что вектор
образует нормированую сопряженную систему из одного вектора. Кроме
этого, заметим, что
lin lin
где lin — линейная оболочка векторов ( в данном случае
одного ). Далее построение нормированой сопряженной системы
проведем по индукции.
Предположим, что нормированая сопряженная система
уже построена и
lin lin
В силу линейной независимости вектор lin .
Положим
очевидно, что при этом lin lin при
.
Подберем коеффициенты так, чтобы был сопряжен .
Условие сопряжения дает
(30)
для .
Поскольку для любых разность ,
то
и, следовательно, . Тогда из (30) получаем
Поскольку
20
Умножив это равенство слева на произвольное
                                                                                                                                                              , получим
                                                                                %'  7*!8-90/// 
                                                              
   На вопрос о существовании сопряженных векторов можно дать констр-
уктивный ответ, указав процедуру построения нормированой сопряженной
системы. Такая система может быть построена, взяв за начальный матер-
иал некоторую линейно независимую систему и применив к ней алгоритм,
аналогичный процедуре ортогонализации Грамма-Шмидта.
                                                                                                                                                                                                   /0/0
Процедура построения сопряженной системы
линейно независимы. Положим         
                                         
                                                   Пусть           —
                                               . Очевидно, что вектор
                                                                                                
                                                                                                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                                  
образует нормированую сопряженную систему из одного вектора. Кроме
этого, заметим, что
                          lin     lin                                                                ;
                                                                                                     




                                                                                                                                  
                     0/0                                                                                                                                         0//
где lin    
                  — линейная оболочка векторов  
                                                      ( в данном случае
                                                                                                                                                                                                                            !/0/
                                                                                                                                                            




                                                                      
                                                                                                                                                                                          //0                                                   *
одного ). Далее построение нормированой сопряженной системы
                                                                                                                                                                                                                                            




проведем по индукции.
   Предположим, что нормированая сопряженная система                                                                                                                                                                       




 уже построена и
                                          L0/0/                                                                                          
                                                                                                                                    L0///  
                                                                                                //0   вектор      lin      0/0/  .
                                lin                                                                                       lin 
                                                                                          




В силу линейной независимости 
Положим
                                                                                                          @ 5
                                                                                                               
                                                            
                                                                                                                                                       




                                                                                          lin      0//0   lin    /0/0 при
   < %
очевидно, что при этом
                                                                                                                  был сопряжен   /0/0 .
                                                                                                                                                                                                                      




        .
   Подберем коеффициенты                                                                  так, чтобы
                                                                                                                                                                                                                                   




Условие сопряжения дает
                                    
                                                                        




                                                                                                               
                                                                                                                                      




                                                                                                                                                 ; %                                                                               (30)
для ()7*!8-9/0/5 
                  .
     Поскольку для любых                              "( 3*,.-'//0 разность       @   % ,
              *                                             
                                                                                                                                                                                                                                  




то
              %
                                                                                          
                                                                                                                                                                                                      




                                                             %
                                          
и, следовательно,                                                             . Тогда из (30) получаем
                                        @                                   
                                                                                                          




                                                                                                                           (6*!8-90/// 

                                % *                                                                                              
Поскольку
                                                                                                                                                                
                                                 
                                                                                                                                                            
                                                                                                                                                                        




                                                                                                                      20

Страницы