Составители:
3
1 Корни уравнения. Отделение корней
Функция )(xf называется алгебраической, если для получения ее числового
значения по данному значению аргумента х требуется выполнить арифметические
операции и возведение в степень с рациональным показателем.
Если в запись уравнения входят только алгебраические функции, то уравне-
ние называется алгебраическим.
Алгебраическое уравнение всегда может быть приведено к виду
0...
01
2
2
1
1
=+++++
−
−
−
−
axaxaxaxa
n
n
n
n
n
n
, (1)
где
0 ...,3,2,1 ≠=
n
an
.
Все неалгебраические функции: показательная
х
а
, логарифмическая
x
a
log
,
тригонометрические xxxx ctg , tg,cos ,sin и обратные тригонометрические
xxxx arcctg ,arctg ,arccos ,arcsin – называются трансцендентными.
Если в запись уравнения входят трансцендентные функции, то уравнение
называется трансцендентным, например axx =tg .
Решение уравнения 0)( =xf с одним неизвестным х заключается в отыска-
нии корней, то есть тех значений х , которые обращают уравнение в тождество.
В общем случае для уравнения 0)( =xf отсутствуют аналитические форму-
лы, определяющие его корни.
Задача отыскания корней сводится к нахождению всех точек x
i
пересечения
графика функции f(x) с осью x (см. рисунок 1). Из рисунка видно, что число точек
пересечения графика функции с осью x может быть несколько. Поэтому в качест-
ве первого шага при решении любого уравнения проводят отделение его корней.
Это означает, что ось x разбивают на такие отрезки, что в каждом из них содер-
жится только один корень уравнения. После этого следует уточнить положение
каждого корня в пределах допустимой погрешности.
Рисунок 1 − Геометрическая интерпретация корней уравнения f(x) = 0
Для отделения корней полезна следующая теорема: если непрерывная функ-
ция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a, b] , т.е.
0)()( <⋅ bfaf , то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один ко-
