Составители:
4
рень уравнения f(x) = 0. На основе этой же теоремы реализуются самые простые и
надежные методы численного определения корней уравнений: метод половинного
деления и метод хорд.
Процесс отделения корней начинается с установления знаков f(x) в гранич-
ных точках интересующего нас отрезка определения переменной x: x = a и x = b.
Затем определяются знаки f(x) в ряде промежуточных точек x = α
1
, α
2
..., выбор
которых должен учитывать особенности функции f(x). Если окажется, что
f(α
i
)f(α
i+1
) < 0, то в интервале (α
i
, α
i+1
) есть корень уравнения f(x) = 0. Необходимо
убедиться, является ли этот корень единственным на данном интервале. Для
отделения корней практически достаточно провести процесс половинного деле-
ния, последовательно деля исходный отрезок [a, b] на 2, 4, 8 и т. д. равных частей
и определяя знаки f(x) в точках деления. Напомним, что алгебраическое уравнение
(1) степени n имеет не более n действительных корней. Поэтому если для алгеб-
раического уравнения мы получили n+1 перемену знака f(x), то все его корни от-
делены.
Пример 1.
Отделить корни уравнения x
3
− 6x +2 = 0.
Имеем f(x) = x
3
− 6x +2. Составим приблизительную таблицу перемены знака f(x):
x
− ∞
– 3 – 1 0 1 3
+ ∞
знак f(x)
− −
+ +
−
+ +
Из данных, приведенных в таблице, следует, что в интервалах (−3, −1); (0, 1) и
(1, 3) происходит перемена знака f(x) . Так как f(x) – полином 3-й степени, то все
корни в заданном уравнении отделены.
Пример 2.
Отделить корни уравнения
014
4
=−−
хх
.
В данном примере
14)(
4
−−=
ххxf
,
(
)
1444)('
33
−=−=
xхxf
, поэтому 0)(' =xf
при 1=x – это точка экстремума функции )(xf . Далее имеем: 0)( >−∞f ,
0)1( <f , 0)( >+∞f . Следовательно, точка 1=x является точкой минимума, а рас-
сматриваемое уравнение имеет только два действительных корня, один из кото-
рых лежит в интервале )1 ,(−∞ , а другой – в интервале ) ,1( ∞+ .
2 Численное решение уравнения методом половинного деления
(метод дихотомии)
Предположим, что процесс отделения корней проведен и на отрезке [a, b]
находится ровно один корень ξ уравнения f(x)=0. Необходимо определить его
положение с погрешностью ε.
Метод половинного деления заключается в следующем, см. рисунок 2.
Сначала определяем середину с отрезка [a, b] c = (a+b)/2 и вычисляем
значение функции f(c). Далее делаем выбор, какую из двух частей взять для
уточнения корня. Очевидно, что корень будет находиться в той половине
исходного отрезка, на концах которой функция имеет разные знаки
. На рисунке 2
таким будет правый отрезок – отрезок [a, c]. Для очередного шага уточнения
положения корня отрезок [c, b] из рассмотрения исключаем
, а с отрезком [a, c]
продолжаем процесс деления, как и с первоначальным отрезком ] ,[ ba , формально
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
