Составители:
11
Это уравнение можно представить в виде x = x
3
– 1.
Здесь ϕ (x) = x
3
– 1, ϕ
’
(x) = 3x
2
. Поэтому ϕ
’
(x) ≥ 3 при 1 ≤ х ≤ 2 и, сле-
довательно, условие (7) сходимости процесса итераций не выполнено.
Но если записать уравнение (9) в виде
,1
3
+= xx (10)
то будем иметь
3
,1)( +=ϕ
xx
3
2
)1(3
1
)('
+
=ϕ
x
x .
Отсюда при 1 ≤ х ≤ 2
0 < ϕ
’
(x) < 0,25 ,
значит процесс итераций для уравнения (10) (именно (10) – не (9)!) быстро сой-
дется.
Определите сами, за сколько итераций можно получить решение уравнения
(10) с точностью до 10
–3
.
Задания.
1. Отделить корни уравнения
0352 =−−
х
х
.
Ответ. Два действительных корня. Корни уравнения заключены в промежутках (–1, 0) и (4, 5).
2. Найти положительный корень уравнения f(x) = x
3
– 0,2 x
2
– 0,2 x – 1,2 = 0.
Ответ. Значение корня x
*
= 1,2.
3. Методом половинного деления на отрезке [0, 1] определить корень уравнения
fx x x x()=+ −−=
43
210 с погрешностью не хуже 10
– 3
(x
*
≈ 0,867).
4. Методом простых итераций с точностью до 10
– 3
найти корни уравнений:
x = Sin(x) + 0,25 (x
*
≈ 1,172) ; e
x
– x
2
= 0 (x
*
≈ - 0,703) .
Решить те же уравнения методом половинного деления.
Попробуйте провести вычисления «ручным» способом (с помощью калькулятора) и сравните
затраты времени на решение и сложность реализации каждого метода.
Литература.
1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: 1989.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978.
3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: 1970.
4. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах . - М.: Наука,
1972.
5. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль. – Томск:
МП «Раско», 1991.
