Составители:
9
1. Метод Ньютона имеет квадратичную сходимость, т.е. в отличие от метода по-
ловинного деления (и метода хорд) его погрешность на следующей итерации
пропорциональна квадрату погрешности на предыдущей итерации. У метода
дихотомии такая зависимость линейна.
2. Быстрая сходимость метода Ньютона гарантируется лишь при близких к точ-
ному решению начальных приближениях, Если начальное приближение вы-
брано неудачно, то метод может сходиться медленно, либо не сойдется вооб-
ще.
3. Если вблизи корня функция f(x) пологая, то есть на очередной итерации
0)( →αtg , возможно резкое увеличение ошибки вычислений.
5 Метод простых итераций (метод последовательных приближений)
От исходного трансцендентного уравнения 0)( =xf тождественными ал-
гебраическими преобразованиями перейдем к эквивалентной записи в виде
)( хх ϕ= . (5)
Выберем какое-то начальное приближение x
0
к корню x
*
. Подставив его в
правую часть (5), получим первое приближение
)(
01
хх
ϕ=
, затем втрое
)(
12
хх
ϕ=
и так далее:
)(
1−
ϕ=
kk
хх
. (6)
Возникает вопрос о том, при каких условиях данный итерационный процесс
будет сходиться к корню трансцендентного уравнения x
*
. Для ответа на него про-
ведем графический анализ, см. рисунок 5.
Из графиков видно, что при любом знаке производной )(' xϕ возможны как
сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. Скорость сходимости
зависит от абсолютной величины производной. Чем меньше
)(' xϕ вблизи корня,
тем быстрее сходится процесс. Более детальный математический анализ показы-
вает, что необходимым для сходимости метода простых итераций является усло-
вие
1)(' <ϕ x . (7)
Выполнение условия (7) можно обеспечить путем рационального выбора вида
функции )( хϕ . Рассмотрим один из общих алгоритмов такого выбора.
Умножим левую и правую части уравнения 0)( =xf на произвольную посто-
янную b и добавим к обеим частям неизвестное x. При этом корни исходного
уравнения не изменятся:
x + b
.
f(x) = x + 0
.
b.
Введем обозначение
)()( xfbxx ⋅+=ϕ . (8)
Произвольный выбор константы b поможет обеспечить выполнение условия схо-
димости. Желательно выбрать b так, чтобы
0)(' 1 <ϕ<− x ,
тогда сходимость итерационного процесса будет двухсторонней (рисунок 5, в).
Если функция )( xϕ
выбрана в виде (5), то ее производная выражается формулой
