Составители:
8
принимается за новое начальное приближение и процесс повторяется. Из рисунка
видно, что процесс сходится к искомому корню x
*
. Процесс уточнения корня за-
кончится, когда выполнится условие
,
1
ε<−
+
kk
xx
где ε – допустимая погрешность определения корня. Из геометрических сообра-
жений можно получить расчетную формулу для метода Ньютона в виде:
()
()
.
1
k
k
kk
xf
xf
xx
′
−=
+
(4)
Рисунок 4 − Иллюстрация метода касательных (Ньютона)
Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсо-
лютная погрешность нахождения корня ε = 10
−5
… 10
−6
достигается за 5 – 6 итера-
ций. Однако существенным недостатком этого метода является необходимость
вычисления производной функции на каждом шаге итерационного процесса. Это
может явиться серьезным препятствием, когда функция вычисляется по очень
сложному или трудоемкому алгоритму. Несколько уменьшив скорость сходимо-
сти, можно ограничиться вычислением производной только на первой итерации, а
затем вести вычисления по формуле (4), полагая
)(')('
0
xfxf
k
≈
:
()
()
.
0
1
xf
xf
xx
k
kk
′
−=
+
Структура программы решения уравнений методом Ньютона похожа на
структуру программ для методов дихотомии и хорд. Главное отличие заключается
в том, что в методе Ньютона не нужно делать выбор между левой правой частями
отрезка, а также в том, что нет необходимости задавать полосу шума функции, так
как по разности двух последовательных приближений x
k+1
− x
k
можно сразу оце-
нивать и величину отношения
)(/)(
xfxf
′
. Для предотвращения возможного “за-
цикливания” программы в случае неудачного выбора начального приближения
или неправильно заданных параметров, рекомендуется предусмотреть счетчик
числа итераций.
Замечание.
Отметим без доказательства три особенности метода Ньютона:
