Оптическое согласование волоконных световодов. Овчинников О.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
сред в более плотном диэлектрике имеет вид стоячей волны, а в менее
плотном спадает по мере удаления от границ, удобно записать решение
уравнения (14) следующим образом:
E
y
(x) =
[
]
[]
11
22
33
exp ( ) , ,
cos , 0 ,
exp , 0
A
xh xh
A
xxh
Ax x
γ
γϕ
γ
⎧
−− >
⎪
−<<
⎨
⎪
<
⎡⎤
⎣⎦
⎩
(17)
На основе теоремы единственности решения уравнения Максвелла
известно, что поле можно записать в какой угодно форме, но если оно
удовлетворяет граничным условиям, то является правильным и
единственным. Граничными условиями являются непрерывность
касательных составляющих поля на границах слоя с координатами x = 0 и
x = h:
при х = 0 Е
у2
= Е
у3
; H
z2
= H
z3
при х = h Е
у2
= Е
у1
; H
z2
= H
z1
.
Следовательно, для записанной системы получим следующие соотношения
между параметрами:
x = 0; A
2
cos(
ϕ
3
) = А
3
;
γ
2
А
2
sin(
ϕ
3
) =
γ
3
А
3
;
x = h; A
2
cos(
γ
2
h -
ϕ
1
) = А
1
;
γ
2
А
2
sin(
γ
2
h -
ϕ
1
) =
γ
1
А
1
. (18)
Здесь
ϕ
1
и
ϕ
3
– сдвиг фаз на соответствующей границе. Поперечное
волновое число γ
2
определяет период стоячей волны в направляющем слое,
а величины γ
1
и γ
3
– глубину проникновения поля в подложку и покрытие,
соответственно, (расстояние, на котором поле уменьшается в е раз). Из (18)
получаем формулы для сдвига фаз:
tg
ϕ
1
=
γ
1
/
γ
2
, tg
ϕ
3
=
γ
3
/
γ
2
(19)
и дисперсионное соотношение:
γ
2
h –
ϕ
1
–
ϕ
3
= m
π
, (20)
где индекс моды m – целое число. Полученное соотношение находится в
согласии с дисперсионным соотношением (4). Так же можно получить
соотношение между амплитудами полей А
1
, А
2
и А
3
в виде:
(
)
(
)
(
)
2
1
2
2
2
1
2
3
2
2
2
3
22
2
2
1
nnAnnANnA −=−=− ,
введя N =
β
/k – эффективный показатель преломления. Величина N имеет
смысл замедления волны в световоде, так как фазовая скорость волны v
ф
= =
ω/β
= c
0
/N.
В соответствии с числом т ТЕ-моды или волны магнитного типа
обозначаются как Н
т
. Распределение поля излучательных мод имеет вид:
E
y
(x) =
[
]
[]
11
22 1
33
exp ( ) , ,
cos ( ) , 0 ,
cos , 0.
A
xh xh
A
xh xh
Ax x
γ
γϕ
γϕ
⎧
−− >
⎪
−+ <<
⎨
⎪
+<
⎡⎤
⎣⎦
⎩
(21)
Излучение происходит, когда собственное число (k
2
n
2
–
β
2
) в (16)
положительно не только для направляющего слоя, но и для подложки и 
сред в более плотном диэлектрике имеет вид стоячей волны, а в менее
плотном спадает по мере удаления от границ, удобно записать решение
уравнения (14) следующим образом:
                                ⎧ A1 exp[ −γ 1( x − h)] ,          x > h,
                                ⎪
                        Ey(x) = ⎨ A2 cos[γ 2 x − ϕ ],           0 < x < h,       (17)
                                ⎪
                                ⎩ A3 exp ⎡⎣γ 3x⎤⎦ ,                 x<0
       На основе теоремы единственности решения уравнения Максвелла
известно, что поле можно записать в какой угодно форме, но если оно
удовлетворяет граничным условиям, то является правильным и
единственным. Граничными условиями являются непрерывность
касательных составляющих поля на границах слоя с координатами x = 0 и
x = h:
       при х = 0 Еу2= Еу3; Hz2= Hz3
       при х = h Еу2 = Еу1; Hz2 = Hz1.
Следовательно, для записанной системы получим следующие соотношения
между параметрами:
       x = 0; A2 cos(ϕ3) = А3;         γ2А2 sin(ϕ3) = γ3А3;
       x = h; A2 cos(γ2h - ϕ1) = А1; γ2А2 sin(γ2h - ϕ1) = γ1А1.           (18)
Здесь ϕ1 и ϕ3 – сдвиг фаз на соответствующей границе. Поперечное
волновое число γ2 определяет период стоячей волны в направляющем слое,
а величины γ1 и γ3 – глубину проникновения поля в подложку и покрытие,
соответственно, (расстояние, на котором поле уменьшается в е раз). Из (18)
получаем формулы для сдвига фаз:
                             tg ϕ 1=γ1/γ2,            tgϕ 3 = γ3/γ2       (19)
и дисперсионное соотношение:
                             γ2h –ϕ1 – ϕ3 = mπ,                           (20)
где индекс моды m – целое число. Полученное соотношение находится в
согласии с дисперсионным соотношением (4). Так же можно получить
соотношение между амплитудами полей А1, А2 и А3 в виде:
                            (           )        (          )         (
                          A12 n22 − N 2 = A32 n22 − n32 = A12 n22 − n12 ,    )
введя N = β/k – эффективный показатель преломления. Величина N имеет
смысл замедления волны в световоде, так как фазовая скорость волны vф
= = ω/β = c0/N.
       В соответствии с числом т ТЕ-моды или волны магнитного типа
обозначаются как Нт. Распределение поля излучательных мод имеет вид:
                                ⎧ A1 exp[ −γ 1( x − h)] ,       x > h,
                                ⎪
                        Ey(x) = ⎨ A2 cos[γ 2 ( x − h) + ϕ1] , 0 < x < h,         (21)
                                ⎪
                                ⎩ A3 cos ⎣⎡γ 3x + ϕ ⎦⎤ ,         x < 0.
     Излучение происходит, когда собственное число (k2n2 – β2) в (16)
положительно не только для направляющего слоя, но и для подложки и
                                            10

Страницы