Численные методы анализа. Пахомов А.Н - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ВВЕДЕНИЕ
Современному инженеру в своей практике приходится решать задачи расчёта и моделирования технологического про-
цесса и оборудования. Для успешного решения подобных задач необходимо уметь применять численные и аналитические
методы расчёта уравнений и их систем. Выбор метода решения в значительной мере определяет быстроту и точность полу-
чаемого решения.
Выбор подходящего метода для решения уравнений зависит от характера рассматриваемой задачи. Задачи, сводящиеся
к решению отдельных уравнений и их систем, можно классифицировать по числу уравнений и в зависимости от предлагае-
мого характера и числа решений. Одно уравнение называется линейным, алгебраическим или трансцендентным в зависимо-
сти от того, имеет оно одно решение, n решений или неопределённое число решений. Систему уравнений будем называть
линейной или нелинейной в зависимости от математической природы входящих в неё уравнений [2].
Решение линейного уравнения с одним неизвестным получается достаточно просто (см. школьный курс математики).
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные.
Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональ-
ные, иррациональные): Р(х
1
, х
2
, … , х
n
), где P – многочлен с коэффициентами из поля рациональных чисел. В частности, мно-
гочлен является целой алгебраической функцией.
Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются
трансцендентными, например:
cosx = x, logx = x – 5, x
3
= logx + x
5
+ 40.
Более строгое определение таково: Трансцендентное уравнение – это уравнение вида f(x) = g(x), где функции f и g явля-
ются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.
Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:
1) точные методы;
2) итерационные методы.
Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса
алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших
алгебраических уравнений.
Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это отно-
сится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было
бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвёртой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение
содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней
уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.
Пусть дано уравнение
f(x) = 0, (1)
где:
1) функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными первого и второго порядка;
2) значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a)
⋅ f(b) < 0);
3) первая и вторая производные f ′ (x) и f ″
(x) сохраняют определённый знак на всём отрезке.
Условия 1 и 2 гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3 следует, что f(x) на данном
интервале монотонна,
и поэтому корень будет единственным.
Решить уравнение (1) итерационным методом – значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти зна-
чения корней с нужной точностью.
Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что f(ξ) = 0, называется корнем уравнения (1) или нулём
функции f(x).
Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:
1) определение отрезка локализации корней – отыскание приближённого значения корня или содержащего его отрез-
ка;
2) уточнение приближённых корней – доведение их до заданной степени точности.
Процесс определения отрезка локализации корней начинается с установления знаков функции f(x) в границах x = a и x =
b области её существования.
Пример 1. Определить отрезок локализации корней уравнения:
х
3
– 7х + 3 = 0. (2)
Построим график этой функции (рис. 1).
Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [–3, –1], [0, 1] и [1, 5].

Страницы