ВУЗ:
Составители:
Приближённые значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи,
из решения аналогичной задачи при других исходных данных или могут быть найдены графическим способом.
В инженерной практике распространён графический способ определения приближённых корней.
Рис. 1. Определение отрезка локализации
Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) – это точки пересечения графика функции f(x) с осью
абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох или отметить на оси Ох от-
резки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удаётся сильно упростить, заменив уравнение (1) равно-
сильным ему уравнением:
f
1
(x) = f
2
(x), (3)
где функции f
1
(x) и f
2
(x) более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f
1
(x) и у = f
2
(x), искомые кор-
ни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.
Пример 2. Графически отделить корни уравнения (рис. 2):
Рис. 2. Графическое определение корня
x lg x = 1. (4)
Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства:
xx /1lg
=
Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y
= lg
x и гиперболы
y =1/x. Построив эти кривые, приближённо найдём единственный корень
ξ = 2,5 уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3].
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х
0
. Каждый такой шаг называется
итерацией. В результате итераций находится последовательность приближённых значений корня х
1
, х
2
, ..., х
n
. Если эти значения
с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.
Метод половинного деления
Для нахождения корня уравнения (1), принадлежащего отрезку [a, b], делим этот отрезок пополам. Если 0
2
=
+ ba
f
,
то
0
2
=
+
ξ
ba
является корнем уравнения. Если 0
2
≠
+ ba
f
, то выбираем ту из половин
+
2
,
ba
a
или
+
b
ba
,
2
, на
концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [а
1
, b
1
] снова делим пополам и произ-
водим те же самые действия.
Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, метод
прост и надёжен, всегда сходится.
Пример 3. Методом половинного деления уточнить корень уравнения f(x) ≡ x
4
+ 2x
3
– x – 1 = 0, лежащий на отрезке [0,
1].
Последовательно имеем:
f(0) = – 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 – 0,5 – 1 = – 1,19;
f(0,75) = 0,32 + 0,84 – 0,75 – 1 = – 0,59;
93
f(x)
–87
x 5
–5
5
100
50
–50
–100
–5
0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
