Численные методы анализа. Пахомов А.Н - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

f(0,875) = 0,59 + 1,34 – 0,88 – 1 = + 0,05;
f(0,8125) = 0,436 + 1,072 – 0,812 – 1 = – 0,304;
f(0,8438) = 0,507 + 1,202 – 0,844 – 1 = – 0,135;
f(0,8594) = 0,546 + 1,270 – 0,859 – 1 = – 0,043 и т.д.
Можно принять
ξ =
2
1
(0,859 + 0,875) = 0,867.
Метод хорд
В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения (1) принимаются
значения х
1
, х
2
, ..., х
n
точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс (рис. 3). Сначала запишем уравнение хорды AB:
ab
ax
afbf
afy
−
−
=
−
−
)()(
)(
.
Для точки пересечения хорды AB с осью абсцисс (х = х
1
, y = 0) получим уравнение:
()
ab
afbf
af
x −
−
=
)()(
)(
1
.
Пусть для определённости f ″(x) > 0 при а ≤ х ≤ b (случай f ″(x) < 0 водится к нашему, если записать уравнение в виде f(x)
= 0). Тогда кривая = f(x) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ. Возможны два случая: 1)
f(а) > 0 (рис. 3, а) и 2) f(b) < 0 (рис. 3, б).
а) б)
Рис. 3. Метод хорд
В первом случае конец а неподвижен и последовательные приближения:
x
0
= b;
(
)
() ()
()( )
...,2,1,0,
1
=−
−
−=
+
iax
afxf
xf
xx
i
i
i
ii
(5)
образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причём
011
...... xxxxa
ii
<
<
<
<
<
<
ξ<
+
.
Во втором случае неподвижен конец b, а последовательные приближения:
x
0
= а;
(
)
() ( )
()
i
i
i
ii
xb
xfbf
xf
xx −
−
−=
+1
(6)
образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность, причём
bxxxx
ii
<
ξ
<
<
<
<
<
<
+
......
110
.
Обобщая эти результаты, заключаем:
1) неподвижен тот конец, для которого знак функции f
(х) совпадает со знаком её второй производной f ″(х);
2) последовательные приближения x
n
лежат по ту сторону корня ξ, где функция f (х) имеет знак, противоположный зна-
ку её второй производной f
″(х).
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что x
i
– x
i – 1
< ε, где ε – заданная пре-
дельная абсолютная погрешность.
Пример 4. Найти положительный корень уравнения
f (x) ≡ x
3
– 0,2x
2
– 0,2х – 1,2 = 0
с точностью ε = 0,01.
Прежде всего определяем отрезок локализации корня.
а) б)

Страницы