Численные методы анализа. Пахомов А.Н - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Метод последовательных приближений
Для использования метода последовательных приближений исходное нелинейное уравнение f(х) = 0 заменяется равно-
сильным уравнением
x = ϕ(x). (8)
Пусть известно начальное приближение корня х = х
0
. Подставляя это значение в правую часть уравнения (8), получим
новое приближение:
х
1
= ϕ(х
0
).
Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (8), получаем последовательность значений:
x
i + 1
= ϕ(x
i
), (i = 0, 1, …, n). (9)
Геометрически метод итерации может быть пояснён следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функ-
ций у = х и у = ϕ(х). Каждый действительный корень ξ уравнения (8) является абсциссой точки пересечения М кривой у =
ϕ(х) с прямой у = х (рис. 5, а).
Рис. 5. Сходящиеся итерационные процессы
Отправляясь от некоторой точки А
0
[x
0
, ϕ (x
0
)], строим ломаную А
0
В
1
А
1
В
2
А
2
… («лестница»), звенья которой поперемен-
но параллельны оси Ох и оси Оу, вершины А
0
, А
1
, А
2
, … лежат на кривой у = ϕ(х), а вершины В
1
, В
2
, В
3
, …, – на прямой у = х.
Общие абсциссы точек А
1
и В
1
, А
2
и В
2
, …, очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х
1
,
х
2
, … корня ξ.
Возможен также другой вид ломаной А
0
В
1
А
1
В
2
А
2
… – «спираль» рис. 5, б). Решение в виде «лестницы» получается, ес-
ли производная ϕ′(х) положительна, а решение в виде «спирали», если ϕ′(х) отрицательна.
На рисунке 5, а, б кривая у = ϕ(х) в окрестности корня ξ пологая, т.е. ϕ′(x) < 1, и процесс итерации сходится. Однако,
если рассмотреть случай, где ϕ′(x) > 1, то процесс итерации может быть расходящимся (рис. 6). оэтому для практического
применения метода итерации нужно выполнение достаточного условия сходимости итерационного процесса.
Пусть функция ϕ(х) определена и дифференцируема на отрезке [a, b], причём все её значения ϕ(х) ∈ [a, b].
Рис. 6. Расходящийся итерационный процесс
Тогда, если существует правильная дробь q такая, что ϕ′(x)
≤
q < 1 при a < x < b, то:
1) процесс итерации x
i + 1
= ϕ(x
i
), (i = 0, 1, …, n) сходится независимо от начального значения х
0
∈ [a, b];
2) предельное значение
∞→
=
ξ
n
n
xlim является единственным корнем уравнения х = ϕ(х) на отрезке [a, b].
Пример 5. Уравнение
f(x) ≡ x
3
– x
– 1 = 0 (10)
имеет корень ξ ∈ [1, 2], так как f(1) = – 1 < 0 и f(2) = 5 > 0.
Уравнение (10) можно записать в виде
х = х
3
– 1. (11)
а) б)

Страницы