Численные методы анализа. Пахомов А.Н - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Здесь
ϕ(х) = х
3
– 1 и ϕ′(х) = 3х
2
;
поэтому
ϕ′(х) ≥ 3 при 1 ≤ х ≤ 2
и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.
Если записать уравнение (10) в виде
3
1+= xx
, (12)
то будем иметь:
() ()
()
3
2
3
13
1
и1
+
=ψ
′
+=ψ
x
xxx
.
Отсюда
()
4
1
43
1
0
3
<<ψ
′
< x при 1 ≤ х ≤ 2 и, значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдётся.
Найдём корень ξ уравнения (10) с точностью до 10
–2
. Вычисляем последовательные приближения х
n
с одним запасным
знаком по формуле
(
)
nixx
ii
...,,2,1,0,1
3
=+= .
Найденные значения помещены в табл. 1.
1. Значения последовательных приближений x
i
i 0 1 2 3 4
x
i
1 1,260 1,312 1,322 1,3243
С точностью до 10
–2
можно положить ξ = 1,324.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:
1)
точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с
помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др.);
2)
итерационные методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путём сходящихся итера-
ционных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).
Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближёнными. При использовании
итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.
Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и
быстроты сходимости процесса.
Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х
1
, х
2
, …, х
n
:
=+++
=+++
=+++
....
;...
;...
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
(13)
В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в
матричном виде
Ах = b, (14)
где:
=
=
=
nn
nnnn
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
A
KK
K
KKKK
K
K
2
1
2
1
21
22221
11211
;; . (15)
Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициен-
ты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой
являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Мат-
рица-столбец х, элементы которой – искомые неизвестные, называется решением системы.
Если матрица А – неособенная, т.е. det A ≠ 0, то система (13) или эквивалентное ей матричное уравнение (14) имеет
единственное решение.

Страницы