Численные методы анализа. Пахомов А.Н - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1)
),,2,1('
1
niaa
n
j
jiii
K=>
∑
=
(20)
или
2) >
jj
a
),,2,1('
1
nja
n
i
ji
K=
∑
=
, (21)
где штрих у знака суммы означает, что при суммировании пропускаются значения i = j, т.е. сходимость имеет место, если мо-
дули диагональных элементов матрицы А системы (13) или для каждой строки превышают сумму модулей недиагональных
элементов этой строки, или же для каждого столбца превышают сумму модулей недиагональных элементов этого столбца.
Пример 6. Пусть
=
987
654
321
A
. Имеем:
max=
m
A (1 + 2 + 3, 4 + 5 + 6, 7 + 8 + 9) max= (6, 15, 24)
=
24;
max=
l
A (1+ 4 + 7, 2 + 5 + 8, 3 + 6 + 9) max= (12, 15, 18)
=
18;
16,9285987654321
222222222
≈=++++++++=
k
A .
В Mathcad существуют специальные функции для вычисления норм матриц:
normi(A) – возвращает неопределённую норму матрицы А;
norm l(A) – возвращает L1, норму матрицы А;
normе(A) – возвращает Евклидову норму матрицы А.
В качестве условия окончания итерационного процесса можно взять условие
(
)
(
)
()
ε≤
−
+
+
1
1
k
kk
x
xx
, (22)
где ε – заданная погрешность приближённого решения х ≈ x
(k + 1)
.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
В отличие от систем линейных уравнений для систем нелинейных уравнений не существует прямых методов решения.
Лишь в отдельных случаях систему можно решить аналитически. Например, для системы из двух уравнений иногда удаётся
выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относи-
тельно одного неизвестного. Поэтому итерационные методы для нелинейных систем приобретают особую важность.
Метод Ньютона
Рассмотрим нелинейную систему уравнений
(
)
()
()
=
=
=
0...,,,
...............................
;0...,,,
;0...,,,
21
212
211
nn
n
n
xxxf
xxxf
xxxf
(23)
или в векторной форме
f
(x) = 0, (23′)
где
,
2
1
=
n
f
f
f
f
K
.
2
1
=
n
x
x
x
x
K
Для решения системы (23′) будем пользоваться методом последовательных приближений.
Предположим, известно k-е приближение
()
(
)
(
)
(
)
(
)
k
n
kkk
xxxx ...,,,
21
=
одного из изолированных корней
()
n
xxxx ...,,,
21
= век-
торного уравнения (23′). Тогда точный корень уравнения (23′) можно представить в виде
(
)()
kk
xxx ∆+= , (24)
где
() () () ()
(
)
k
n
kk
xxxx ∆∆∆= ...,,,∆
21
k
– поправка (погрешность корня).
Подставляя выражение (24) в (23′), будем иметь
(
)
(
)
(
)
0∆ =+
kk
xxf . (25)

Страницы