Численные методы анализа. Пахомов А.Н - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Предполагая, что функция f
(x) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x
(k)
, раз-
ложим левую часть уравнения (25) по степеням малого вектора ∆
x
(k)
, ограничиваясь линейными членами:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
() ()
(
)
0∆∆ =+
′
+=+
kkkkk
xxfxfxxf (26)
или в развёрнутом виде:
() () () ()
()
() ()
(
)
() ()
() () () ()
()
() ()
()
() ()
=
∂
∂
∆++
∂
∂
∆+=∆+∆+
=
∂
∂
∆++
∂
∂
∆+=∆+∆+
.0,,,,
;0,,,,
1
1111
1
1
1
11
1
11
1
n
n
k
n
n
kk
n
k
n
k
n
k
n
kk
n
n
k
n
kk
n
kk
n
k
n
kk
x
f
x
x
f
xxxfxxxxf
x
f
x
x
f
xxxfxxxxf
KKK
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
KKK
(26′)
Из формул (26) и (26′) вытекает, что под производной f ′(x) следует понимать матрицу Якоби системы функций f
1
, f
2
, …,
f
n
относительно переменных x
1
, x
2
, …, x
n
, т.е.
() ()
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
==
′
n
nnn
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
xWxf
K
KKKK
K
K
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
или в краткой записи
() () ()
nji
x
f
xWxf
j
i
...,,2,1, =
∂
∂
==
′
.
Поэтому формула (26) может быть записана в следующем виде:
f (x
(k)
) + W (x
(k)
) ∆ x
(k)
= 0.
Если
()
0detdet ≠
∂
∂
=
j
i
x
f
xW
det, то ∆ x
(k)
= – W
–1
(x
(k)
) f (x
(k)
).
Отсюда видно, что метод Ньютона решения системы (23) состоит в построении итерационной последовательности:
x
(k + 1)
= x
(k)
– W
–1
(x
(k)
) f (x
(k)
) (k = 0, 1, 2, …, n). (27)
Если все поправки становятся достаточно малыми, счёт прекращается. Иначе новые значения x
i
используются как при-
ближённые значения корней, и процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено решение или не станет ясно, что по-
лучить его не удастся.
Пример 7. Методом Ньютона приближённо найти положительное решение системы уравнений
()
()
()
+−=
−+=
−++=
.43,,
;42,,
;1,,
22
1
22
1
222
1
zyxzyxf
zyxzyxf
zyxzyxf
исходя из начального приближения x
0
= y
0
= z
0
= 0,5.
Полагая:
()
()
(
)
()
()
=
=
zyxf
zyxf
zyxf
xfx
,,
,,
,,
,
0,5
0,5
0,5
3
2
1
0
,
имеем
()
+−
−+
−++
=
22
22
222
43
42
1
zyx
zyx
zyx
xf
.
Отсюда
()
()
−
−
−
=
+−
−+
−++
=
00,1
25,1
25,0
25,000,275,0
2,000,250,50
10,250,250,25
0
xf
.

Страницы