Численные методы анализа. Пахомов А.Н - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В самом деле, при условии det A ≠ 0 существует обратная матрица А
–1
. Умножая обе части уравнения (14) на матрицу А
–
1
, получим:
.
,
1
11
bAx
bAAxA
−
−−
=
=
(16)
Формула (16) даёт решение уравнения (14), и оно единственно.
Для решения системы линейных уравнений в MathCAD применяется функция lsolve.
Формат:
lsolve(А, b) – возвращает вектор решения x такой, что Ах = b.
Аргументы:
А
– квадратная, несингулярная матрица.
b – вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.
Метод итерации
Пусть дана линейная система (13). Введя в рассмотрение матрицы (15), систему (13) коротко можно записать в виде мат-
ричного уравнения (14). Предполагая, что диагональные коэффициенты
a
ij
≠ 0 (i = 1, 2, …, n),
разрешим первое уравнение системы (13) относительно х
1
, второе – относительно х
2
и т.д. Тогда получим эквивалентную
систему
α++α+α+β=
α++α+α+β=
α++α+α+β=
−−
,
;
;
11,2211
222312122
131321211
nnnnnnn
nn
nn
xxxx
xxxx
xxxx
K
K
K
K
(17)
где
ii
ij
ij
ii
i
i
a
a
a
b
−=α=β ;
при i ≠ j и α
ij
= 0 при i = j (i, j = 1, 2, …, n).
Введя матрицы
β
β
β
=β
ααα
ααα
ααα
=α
n
nnnn
n
n
K
K
KKKK
K
K
2
1
21
22221
11211
и , систему (18) можно записать в матричной форме
x = β + αx,
а любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле
x
(k + 1)
= β + αx
(k)
. (18)
Напишем формулы приближений в развёрнутом виде:
(
)
() ()
()
===α
α+β=
β=
∑
=
+
....,,2,1,0;...,,1;0
;
;
1
1
0
nkni
xx
x
ii
n
j
k
iiji
k
i
ii
(18′)
Процесс итерации для приведённой линейной системы (18) сходится к единственному её решению, если какая-нибудь
каноническая норма матрицы α меньше единицы, т.е. для итерационного процесса (19) достаточное условие есть
1<α . (19)
Таким образом, процесс итерации для системы (17) сходится, если:
1)
1max <α=α
∑
j
ij
i
m
(m – норма или неопределённая норма),
или
2)
1max <α=α
∑
i
ij
j
l
(l – норма или норма L1),
или
3)
1
,
2
<α=α
∑
ji
ij
k
(k – норма или Евклидова норма).
Также для системы (13) процесс итерации сходится, если выполнены неравенства:

Страницы