Численные методы анализа. Пахомов А.Н - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Так как f
(1) = –0,6 < 0 и f (2) = 5,6 > 0, то искомый корень ξ лежит в интервале [1, 2]. Полученный интервал велик, поэтому
разделим его пополам.
Так как f
(1,5) = 1,425 > 0, то 1< ξ < 1,5.
Так как f
″(x) = 6x – 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 и f (1,5) > 0, то воспользуемся формулой (5) для решения поставленной задачи:
()
15,115,1
0,61,425
,60
1
1
=−
+
+=x ; x
1
– x
0
= 0,15 > ε ,
следовательно, продолжаем вычисления;
f (х
1
) = –0,173;
()
190,115,15,1
0,1731,425
,1730
15,1
2
=−
+
+=x ; x
2
– x
1
= 0,04 > ε ,
f (х
2
) = –0,036;
()
198,1190,15,1
0,0361,425
,0360
190,1
3
=−
+
+=x ; x
3
– x
2
= 0,008 < ε .
Таким образом, можно принять ξ = 1,198 с точностью ε = 0,01.
Точный корень уравнения ξ = 1,2.
Метод Ньютона
Отличие этого итерационного метода от предыдущего состоит в том, что вместо хорды на каждом шаге проводится каса-
тельная к кривой y = f(x) при = х
i
и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 4). При этом не обязательно зада-
вать отрезок [а, b], содержащий корень уравнения (1), достаточно найти лишь некоторое начальное приближение корня x = х
0
.
Рис. 4. Метод Ньютона
Применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки х
0
выбирается
тот конец интервала [а, b], которому отвечает ордината того же знака, что и знак f
″(х).
Уравнение касательной, проведённой к кривой y = f(x) через точку В
0
с координатами х
0
и f(х
0
), имеет вид
(
)
(
)
(
)
000
xxxfxfy
−
′
=
−
.
Отсюда найдём следующее приближение корня х
1
как абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох (y = 0)
(
)
()
0
0
01
xf
xf
xx
′
−=
.
Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных, про-
ведённых в точках В
1
, В
2
т.д. Формула для i + 1 приближения имеет вид
()
()
i
i
ii
xf
xf
xx
′
−=
+1
. (7)
Для окончания итерационного процесса может быть использовано или условие f(x
i
) < ε, или условие близости двух
последовательных приближений x
i
– x
i – 1
< ε.
Итерационный процесс сходится, если
f(х
0
) f ″(х
0
) > 0.

Страницы