Лабораторные работы по численным методам. Пак Т.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
i
= a + i · h; i = 0, 1, 2, . . . , 10; h = (b − a)/10.
¯x
¯x(x
i
< ¯x < x
i+1
),
−4
¯y = f(¯x) ¯x
¯x
x
i−1
, x
i i+1
x
i−1
< ¯x < x
i+1
¯x
−5
¯y = f(¯x).
•
•
L
1
(¯x) = f (x
i
) · (¯x − x
i+1
)/(x
i
− x
i+1
) + f(x
i+1
) · (¯x − x
i
)/(x
i+1
− x
i
).
•
R
1
(x) = f
00
(ξ)ω
2
(x)/2, ξ ∈ [x
i−1
, x
i+1
], ω
2
(x) = (x − x
i
) · (x − x
i+1
),
[x
i
, x
i+1
] f
00
(x)
R
1
(x).
• min R
1
< R
1
(¯x) < max R
1
R
1
(¯x) = L
1
(¯x) − f(¯x).
•
L
2
(x) = f (x
i−1
)
(¯x − x
i
)(¯x − x
i+1
)
(x
i−1
− x
i
)(x
i−1
− x
i+1
)
+ f(x
i
)
(¯x − x
i−1
)(¯x − x
i+1
)
(x
i
− x
i−1
)(x
i
− x
i+1
)
+
+f(x
i+1
)
(¯x − x
i−1
)(¯x − x
i
)
(x
i+1
− x
i−1
)(x
i+1
− x
i
)
.
•
Òåìà 1. Èíòåðïîëèðîâàíèå ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ
ìíîãî÷ëåíîâ Ëàãðàíæà è ìíîãî÷ëåíîâ Íüþòî-
íà ñ ðàçäåëåííûìè ðàçíîñòÿìè
1. Íà îòðåçêå [a,b] ïîëó÷èòü òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè y=f(x) â ðàâíîîò-
ñòîÿùèõ òî÷êàõ xi = a + i · h; i = 0, 1, 2, . . . , 10; h = (b − a)/10. Âàðèàíòû
ôóíêöèè y=f(x) è îòðåçêà [a,b] ñì. â òàáëèöå 1.
    2. Ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèîííûõ ôîðìóë Ëàãðàíæà è Íüþòîíà ñ ðàç-
äåëåííûìè ðàçíîñòÿìè âûïîëíèòü ëèíåéíóþ èíòåðïîëÿöèþ â òî÷êå x̄. Äî-
ïóñòèìà ëè ëèíåéíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ òàáëè÷íî çàäàííîé ôóíêöèè â òî÷êå
x̄(xi < x̄ < xi+1 ), îáåñïå÷èâàþùàÿ ïîãðåøíîñòü, íå ïðåâîñõîäÿùóþ 10−4 ?
Ñðàâíèòü ðåçóëüòàòû ñî çíà÷åíèåì, ïîëó÷àåìûì ïðè íåïîñðåäñòâåííîì âû-
÷èñëåíèè ïî ôîðìóëå ȳ = f (x̄). Âàðèàíòû òî÷êè x̄ ñì. â òàáëèöå 1.
    3. Ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèîííûõ ôîðìóë Ëàãðàíæà è Íüþòîíà ñ ðàç-
äåëåííûìè ðàçíîñòÿìè âûïîëíèòü êâàäðàòè÷íóþ èíòåðïîëÿöèþ â òî÷êå x̄,
èñïîëüçóÿ òðè áëèæàéøèå òî÷êè xi−1 , xi , xi+1 , (xi−1 < x̄ < xi+1 ). Äîïóñòè-
ìà ëè êâàäðàòè÷íàÿ èíòåðïîëÿöèÿ òàáëè÷íî çàäàííîé ôóíêöèè â òî÷êå
x̄, îáåñïå÷èâàþùàÿ ïîãðåøíîñòü, íå ïðåâîñõîäÿùóþ 10−5 ? Ñðàâíèòü ðå-
çóëüòàòû ñî çíà÷åíèåì, ïîëó÷àåìûì ïðè íåïîñðåäñòâåííîì âû÷èñëåíèè ïî
ôîðìóëå ȳ = f (x̄).

   Ýòàïû âûïîëíåíèÿ ëàáîðàòîðíîé ðàáîòû.
    • Ïîñòðîèòü òàáëèöó èç 11 çíà÷åíèé âûáðàííîé ôóíêöèè.
    • Ïî èíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëå Ëàãðàíæà ïåðâîãî ïîðÿäêà âû÷èñëèòü
L1 (x̄) = f (xi ) · (x̄ − xi+1 )/(xi − xi+1 ) + f (xi+1 ) · (x̄ − xi )/(xi+1 − xi ).
    • Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà èíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëû
Ëàãðàíæà ïåðâîãî ïîðÿäêà
R1 (x) = f 00 (ξ)ω2 (x)/2, ξ ∈ [xi−1 , xi+1 ], ω2 (x) = (x − xi ) · (x − xi+1 ),
íà îòðåçêå [xi , xi+1 ] îöåíèòü ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèÿ f 00 (x),
à çàòåì ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà R1 (x).
    • Ïðîâåðèòü, âûïîëíÿåòñÿ ëè íåðàâåíñòâî min R1 < R1 (x̄) < max R1 ,
R1 (x̄) = L1 (x̄) − f (x̄). Îòâåòèòü íà âîïðîñ ï.2.
    • Ïî èíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëå Ëàãðàíæà âòîðîãî ïîðÿäêà âû÷èñëèòü
                         (x̄ − xi )(x̄ − xi+1 )             (x̄ − xi−1 )(x̄ − xi+1 )
L2 (x) = f (xi−1 )                               + f (xi )                           +
                     (xi−1 − xi )(xi−1 − xi+1 )            (xi − xi−1 )(xi − xi+1 )
               (x̄ − xi−1 )(x̄ − xi )
+f (xi+1 )                                 .
           (xi+1 − xi−1 )(xi+1 − xi )
    • Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà èíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëû
Ëàãðàíæà âòîðîãî ïîðÿäêà


                                          4

Страницы